q=L-L*cosα                                                                       (2.12)
b=l-d*sinθ                                                                        (2.13)
把式（2.10）至式（2.13）代入式（2.9）中，得到:
sinα=(√(l^2-〖[(d-dcosθ)-(L-Lcosα)]〗^2 )-(l-dsinθ))/L                           (2.14)
当转角较小时，即在平衡点附近时，可以将（2.14）式线性化，得到它们的线性关系式   α*L=θ*d 。
2.2.3 电机模型
电机轴的位置通过电机附带的编码器进行检测，但是θ和电机轴存在一个减速比n=4,编码器输出脉冲信号，并反馈给IPM100，驱动器接收增量式编码器的信号，信号由两路信号（A,B信号）以及一路index信号组成，两路信号为方波信号，两者之间相位差为90度，A信号超前B信号说明电机正转，否则说明电机反转。控制器对编码器信号进行4分频，于是电机的位置精确度提高到四倍。电机转动一圈，index信号产生一个负脉冲，主要用于同步控制或精确的控制。
在这部分，将建立伺服电机的模型，电机的转矩和电流成正比：
T=K_2 i_a                                    (2.15)
其中：K_2为转矩常数。
       i_a为电枢电流。
当电机转动时，电枢会产生一个反向电动势，其大小和磁场的强度以及转动的速度成正比，当磁场一定时，反电动势e_b和dθ⁄dt成正比：
e_b=K_3  dθ/dt                                   (2.16)
其中e_b为反电动势
K_3为感应常数
β为电机的角度
直流伺服电机的速度决定于电枢两端的电压差，(e_a=K_1 e_v为放大器的输出)电机的电气关系如下：
L_a  (di_a)/dt+R_a i_a+e_b=e_a                         (2.17)
或：
L_a  (di_a)/dt+R_a i_a+K_3  dβ/dt=K_1 e_v                   (2.18)
转矩的平衡方程为：
J_0  (d^2 β)/(dt^2 )+b_0  dβ/dt=T=K_2 i_a                        (2.19)
即：
T_m=(d^2 β)/(dt^2 )+dβ/dt=K_m u_a-K_c M_c                                       (2.20)
式（2.20）中：T_m=(J_0 R_a)/(C_e C_m )   基于LQR球杆系统的控制方法研究与设计仿真(5):http://www.youerw.com/zidonghua/lunwen_1299.html