Wecan’tsolveproblemsbyusingthesamekindofthinkingweusedwhenwecreatedthem。--AlbertEinstein

写下这个,不免有些惊心动魄,这些主题词未免太大了,还好本文只是讨论它们之间的这一――“,即对这些主题词的论文网相关方面作一些初步的探讨。

1．悖论

悖论自古有之。比较出名的是说谎者悖论:一个人说了一句话:我现在在说谎“。我们来分析一下这句话是真话,还是谎话。假设这句话是真话,由它的内容所指,则这句话是谎话;反过来,假设这句话是谎话,那么我现在在说谎“就是谎话,因此他说的是实话。

由这句话是真话,可以推导出这句话是谎言;由这句话是谎话,又可以推导出这句话是真话。这就称为悖论。

更形式化的悖论定义是:由A可以推导出┐A(A的否定的形式写法),并且由┐A可以推导出A。“

悖论还有很多,如苏格拉底悖论“。万能上帝悖论“。中国古代的矛盾悖论“。先有鸡先有蛋悖论“。自由悖论“。康德的二律背反等等。

还有一类跟悖论很相近的命题,我们不妨称之为自毁命题“。自毁命题的定义是:由A可以推导出┐A,但由┐A并不能推导出A。“自毁命题具有自毁性质,自毁命题本身是不能成立的,但它的否定却没有约束。

比如克里特哲学家说:克里特人总是说谎“,这就是一个自毁命题。这个命题与说谎者悖论很相似,但两者并不一样。假设这句话是真话,那么由它所指及这个哲学家是个克里特人的事实,可以推出这个哲学家也总是说谎,这个哲学家现在当然也是在说谎,即这句话是谎言;再看另外一个方向,假设这句话是谎话,也就是克里特人并不总是说谎“,由此并不能推出矛盾。

再看世上没有绝对的真理“,这也是一个自毁命题。假设这句话是真的,那么世上就有了绝对的真理,这与话语所指矛盾;假设这句话是假的,也就是世上有某些绝对的真理“,这并不能产生矛盾。

再如中国文化一无用处“,这也是一个自毁命题。我们用中文文字来说这句话,这样来看,中文文字就是有用的,也即中国文化的某些东西是有用的,这就与原命题矛盾;反过来,这个命题的否定也并不能产生矛盾。

五灯会元里有长爪梵志与佛陀的辩论,长爪梵志的立论命题是什么都不接受。“佛陀就问道:那你接受不接受‘什么都不接受’这个观点呢?“长爪梵志无言,只好认输。这也是一个自毁命题。

自毁命题也还有很多,比如真理是不可言说的“,墙上不准写字“,我没有在说话“,我在睡觉“,以暴止暴“等。

另外,还有一类自成命题“。自成命题的定义是:A并不可以推导出┐A,但由┐A可以推导出A。“自成命题具有自成性质,自成命题的否定将导致矛盾的,但它的肯定却没有约束。比如哥德尔语句,就是自成命题。

悖论与自毁命题。自成命题的一个区别是:自毁命题的名词常常包含有一个全称量词的限制。

悖论与自毁命题。自成命题的相同之外就在于矛盾性,也即不一致性。悖论在肯定和否定命题两个方向都会产生矛盾,而自毁命题在肯定命题时会产生矛盾,自成命题在否定命题时会产生矛盾。自毁命题只能假,自成命题只能真。

2．罗素悖论

悖论里面最出风头的要数罗素悖论“,他直接引起了第三次数学危机“,撼动了整个数学的基础。

以下,我们介绍一下罗素悖论“。如果集合具有自己属于自己的性质,那么我们称这个集合是自吞的“,比如所有集合的集合。现在假设T是所有不自吞集合的集合。那么请问T是否是自吞的?如果说T不是自吞的,那么T将属于自己,那么T就是自吞的。如果说T是自吞的,那么T便具有T内元素的性质不自吞“,即T是不自吞的。

罗素悖论“的通俗形式是理发师悖论“:一个理发师声称他给且只给不为自己理发的人理发。那么问题来了,这个理发师是否给自己理发?如果他不给自己理发,那么按照他的声称,他应该给自己理发。如果他给自己理发,那么他便具有不为自己理发“性质的,也就是他不为自己理发。

数学家日用而不知“的集合“概念居然存在矛盾,这对于当时的数学家们不啻一记晴天霹雳。打个比方,一个人早上醒来,却发现自己脚下都是沙土。或者正如一个百万富翁突然发现自己的钱都是假钞。或者正如一个小孩放学回来,却发现自己的家人都不见了,自己的家都空“了。这样的感觉无疑是使人震惊,甚至恐惧的。既然朴素的集合论思想是不严密的,那么数学家们就要建构更加严密的集合论,在朴素集合论的概念里加上一些限制,以防止不适当集合的出现。如此,公理集合论就渐渐发展起来了。其中,ZF公理集合论是比较成熟的一种。ZF公理集合论目前还没出现矛盾,但问题是经过了第三次数学危机“,如何叫数学家们相信ZF公理集合论是一致的“?(所谓一致的,就是不矛盾的,或称协调的,也就是不会在一个系统里面既有公式A为真又有公式┐A为真。)

这个问题又扩展到对数学基础的反思,什么样的数学基础是稳固的?数学真理的本质是什么?数学命题有什么意义?它们是建什么样的证明之上的?［1］

对于此问题的不同看法,数理逻辑界形成了三派:逻辑主义学派(罗素,怀特海)。形式主义或公理学派(希尔伯特)。直觉主义(布劳威尔)学派。本文主要涉及形式主义学派。

希尔伯特大力提倡数学的形式主义(即公理化)。在那个时期,初等几何。算术。群。环。域。拓朴空间等数学系统都得到了公理论。回顾历史,我们还可以惊奇地发现,哲学家斯宾诺莎尝试过用公理化的方法来表述伦理学。

希尔伯特提出了希尔伯特方案,也就是把古典数学的每一分支都形式化,并且证明这些数学公理系统的协调性和完全性。所谓协调性,也就是一致性,即这个形式系统内部不会出现矛盾。所谓完全性,是指这个形式系统里面的任一公式A,或者A是可证的,或者是┐A可证的。

正当希尔伯特满怀信心要一劳永逸地解决数学基础问题时,哥德尔不完全性定理的证明惊醒了形式主义学派的美梦。

3．哥德尔

哥德尔(1906－1978)在中国是值得大吹特吹的人物,国外一般认为哥德尔与爱因斯坦都是上世纪最有影响的科学家。特别是在数学界和人工智能界,甚至有很多教授认为哥德尔高于爱因斯坦。但在国内,哥德尔远不如爱因斯坦名声响。究其原因,除了哥德尔理论的艰涩外,可能还由于哥德尔本人性格的内向。

哥德尔(Godel)一般被认为是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家(或许还加上一个弗雷格,他是现代逻辑的创始人)。他有几个主要的贡献:一阶逻辑的完备性定理,哥德尔第一。第二不完全性定理。连续统假设与ZF公理集合论的协调。旋转宇宙里时间旅行的可能。把莱布尼兹的上帝存在论证明转化为逻辑形式。在他的晚年,他对哲学产生了深厚的兴趣,尤其是康德。莱布尼兹和胡塞尔的哲学理论。(哥德尔晚年的转向,其背后包含有什么东西呢?)

在第一不完全性定理中,哥德尔证明了,任一包含算术的形式系统,它的一致性和完全性是不可兼得的。或者这样来说,如果一个包含算术的形式系统是一致的,那么这个系统必然是不完全的。所谓不完全,就是指存在一个公式A,使得A和┐A在这个系统内都不可证。

在哥德尔第一不完全定理中,哥德尔创造性地应用了很多理论,如递归函数,哥德尔编码,对角化,自引用等。在可计算的意义下,N上可表达性。递归函数。图灵可计算(也就是目前的计算机可计算)。lambda函数等计算模型都是等价的。正因为这些计算模型的等价性,哥德尔的工作经常被借鉴到其它计算模型上去。

4．自引用

哥德尔在第一不完全性定理的证明中,构造了一个公式G,使得这个G是真的但在这个系统内却是不可证的。这个G可以理解为以下的汉语描述:这个数论语句在系统中是不可证的。“这个G是不可证的,也就是这个数论语句在系统中是不可证的“在系统中是不可证的。在这里,我们看到了自引用“(或称自指“,怪圈“)。

这种怪圈并不是在数学上独有的。侯世达先生(DouglasR。Hofstadter)的哥德尔。艾舍尔。巴赫――集异壁之大成［2］是人工智能界的一本奇书。在这本书里,作者考察了各种形式的自引用“。为了对这种自引用“有个直观的了解,大家不妨看一下艾舍尔的木雕画,看看那些瀑布“。拿着反光球的手“。变形“。左手画右手,右手画左手“等怪画。同样,在巴赫的卡农与赋格里,也存在类似的怪圈。数理逻辑学家哥德尔更是神奇般地把这种怪圈引进了以精确著称的数学领域。令人叫绝的是,侯世达先生甚至在本书的创作中也使用了很多怪圈。

另外,在博尔赫斯和卡尔维诺的文学作品里,我们也可以看到类似的怪圈。我在玄奘东归记的创作中,也尝试使用了这种怪圈。

再者,这种怪圈在道德界也经常可以发现,但它往往是以反面的形式出现,也就是不自指“的。我们习惯于指责他人,我们很难做到责人先责己“。我们严于律人,宽以待己。我们习惯于指责其它民族,我们却很难反省一下我们历史上的帝王将相“动则活埋数十万人,我们却很难反省一下狂乱的文化大GM“。(目前,市面上总算看到了关于文革反省的一百个人的十年(冯骥才著))我们习惯于指责社会的物质化,我们却很难控制自己对物质的欲望。我们习惯于指责社会在堕落,我们却很难反省我们参与了整个社会的堕落。我们习惯于指责其他人贪污腐败,我们却很难反省一下我们对权力财富的不当追逐。我们习惯于说别人都是坏的,我们却很难反省我们自己也是坏的。其实,一切道德命题都应该是自指的“。康德的普遍化原则“说道:要只按照你同时认为也能成为普遍规律的准则去行动。“

再来看自然语言方面,每个词语都要由其它词语定义,那么在语词深处,不可避免地是循环定义的,是自引用的。

不要再讲这么多太玄的东西,我们只要简单地对看一眼,这时就是一个自引用“的悖论。假设甲与乙对看了一眼,那么请问甲看得多,还是乙看得多?如果说甲看得多,那么甲看到的所有东西(通过甲的眼睛在乙的眼睛里的成像)都会被乙看到,这样来说乙看得更多;如果说乙看得多,同理可得甲看得更多。这不是悖论是什么?

这种怪圈在音乐界,在美术界,在文学界,在数学界,道德界。语言界乃至日常生活中都有其客观的存在,那能否说怪圈是人类的一种普遍现象呢?是不是因为某种更本质的怪圈(比如意识里的怪圈),才导致了这种怪圈现象在音乐。在美术。在文学。在数学上的投影呢?现象学。存在主义。心理学。唯识学能对这种怪圈现象有什么贡献吗?

5．不一致

根据第一不完全性定理可以推导出,一个包含算术形式系统的一致性在这个系统内是不可证的。这就是哥德尔第二不完全性定理。根据这个定理,一致性的证明超出了形式系统的能力。也就是说,形式系统可能是一致的,形式系统也可能是不一致的。在没有发现形式系统的矛盾性之前,我们只有学习维特根斯坦,对系统的一致性“保持沉默。

前期的维特根斯坦认为语言与世界共有一种逻辑本质并追求一种精确的语言,而后期的维特根斯坦则承认日常语言,接受日常语言的模糊性,诉诸常识――世界图示。这又能给我们什么启示?

我们左绕右绕,绕了这么久,还是绕不开不一致“?那么我们不妨换一种思维:既然甩不掉你,那你要跟着,你就跟着吧“。或许不一致“正如同人的影子,它是人类远不脱的宿命?

在这样的思路下,非单调逻辑和弗协调逻辑诞生了。

非单调逻辑承认人在不同时间里理论不协调性的可能。比如当人类看到大雁会飞。鸽子会飞……于是总结出所有的鸟都是能飞的“。但后来人类又发现驼鸟是不能飞的,于是原来的命题就应该改为所有的鸟都是能飞的,除了驼鸟“。而且,如果以后发现还有其它鸟不能飞,这个命题就还要再改。这样来看,系统的定理集并不是单调递增的。

非单调逻辑在允许不一致“方面进行了探索,但非单调逻辑还不是严格的不协调的逻辑“。非单调逻辑允许在不同的时间里可以有A和┐A同时成立,但是在同一时间里,非单调逻辑也不允许A和┐A同时成立。

那么,是否有一种逻辑允许A和┐A同时成立呢?

我们来分析一下,如果有一种逻辑系统允许A和┐A同时成立,那么这个系统称为不一致的。由反证法规则可以推导出,在不一致的系统里,所有的公式都是真的。这种公式全真的系统,我们称之为不足道的系统“,也就是没有研究价值的系统。如此可以看出,不一致的系统“(通过反证法规则)一定是不足道的系统“。那么,我们能不能构造一个不一致但又足道的系统“呢?答案是可以的,前提是该系统里不能承认反证法规则。

弗协调逻辑(ParaconsistentLogic)［3］,就是这样一个逻辑系统。在这个逻辑系统里,矛盾律和反证法不普遍有效。如此,就引入了一个不一致但却足道的逻辑系统。弗协调逻辑是人类思维的一个大胆飞跃,它大胆地否定了矛盾律“的普遍有效性,在系统里面引入了不一致“。在这个逻辑系统里,A和┐A可以同时成立。

科斯塔(N。C。A。daCosta,1929－),弗协调逻辑的开创者,定义了一系列逻辑系统Cn(1<=n<=ω)。在C1系统中,┐(A∧┐A)成立时,归谬律才成立。在C2系统中,(┐(A∧┐A))∧┐((┐(A∧┐A))∧(┐┐(A∧┐A)))成立时,归谬律才成立。如此类推,可以定义到Cω。

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