这些思想归结起来就是，用这种方法来解决一些场的问题时，大致要经过以下几 个步骤：

1）寻找与原问题相适应的变分形式；论文网

2）建立有限元子空间，也就是选择元素类型和相应的形状函数；

3）单元刚度矩阵、单元列阵的计算和总刚度矩阵、总列阵的合成；

4）边界条件的处理和有限元方程组求解；

5）回到实际问题中。

2.2 有限元法的特点

有限元法具有一下特点：

1）可以通过非常直观的物理概念来学习并掌握该方法；

2）有限元法计算的工作量较小，稳定性好，便于求解，占用计算机的内存也较 少[23]；

3）有限元法是基于非常严谨的数学理论上形成的，有较高的可靠性；

4）有限元法有非常大的通用性和灵活性，甚至对于各种复杂的因素（比如复杂 的几何形状、边界条件等）也可以轻松求解[23]；

5）有限元法广泛应用于各种物理问题，早已不单单局限于最初的线弹性问题， 已经进一步应用于弹塑性问题、动力问题、流体力学问题、热传导问题等[23]；

6）有限元法在一定程度上不受几何形状和结构的限制；

7）有限元法适合于计算机的高效性，大型复杂问题的有限元分析已成为研究领 域的常规工作[25]。

挤压成形是一个比较复杂的成形过程，在分析挤压过程中需要考虑的影响因素 多。比如初始边界条件、挤压过程中的物理和几何非线性特征[24]。另外，如何在数学 上处理这些影响因素也有很大的难度。人们采用的传统办法就是简化和假设这些数 据，利用经验公式或者结合实验数据及图像模型信息等，在避开这些难题的前提下进 行挤压过程的分析。传统解决挤压问题的方法有主应力法、滑移线法、功平衡法及上 限法等[25]。

而有限元法比传统方法的的优越处在于：所提供的单元类型更多，可以很大程度 的提高边界拟合精度；所考虑的影响成形过程的因素更多更全面，所得到的结果更加 权威可信；能够借助较少的前提条件而提供出十分详细的变形过程中以及变形结束时 的力学信息，比如应力分布、应变分布、温度场分布、金属塑性流动规律、成形过程 中载荷变化等，可以借此进行工艺的优化设计[26]。但是之前的有限元法虽然比传统方 法更为优越，但是同样也面临着计算量过大，计算时间过长的问题，对于它的实际应 用产生了一定的阻碍。计算机辅助工程 CAE 技术很好的解决了这些问题。CAE 是将 有限元法与计算机图学以及成形工艺学有机结合的产物[27]。

2.3 有限元的发展与应用

2.3.1 有限元法发展历史

我国古人的“化整为零”、“化圆为直”的做法应该可以称作最早的有限元法，还 有典故“曹冲称象”、我国古代数学家刘微采用割圆法来对圆周长进行计算等[23]。这 些方法实际上体现的都是离散近似的思想，即采用大量简单小物体“填充”出复杂的

大物体。

1870 年，英国科学家 Rayleigh 就采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方法

[25]。1909 年 Ritz 将其发展成为完善的数值近似方法，为现代有限元方法打下坚实基

础[25]。

Courant 在 1943 年的工作，应用数学角度尝试应用一些列三角形区域上定义的 分片连续函数和极小势能原理相结合来解决 Saint-Venant 扭转问题，这可以算出有 限元思想的正式提出[25]。