在实际应用中，很多领域会涉及到多幅图像的获取问题。这就促成了压缩感知理论在如环境监测、医学成像诊断、视频监控等应用中的研究。目前，对于单幅图像的压缩感知重建算法研究已经成果显著，然而，对与视频等多幅连续图像的算法还很有限。作为一种新型的信号获取方法，压缩感知理论在视频图像的处理中有着不可估量的使用价值及研究意义。

视频图像可以视为连续相近且相异的不同帧序列，帧间相关性的信息可以有效改善图像的重建质量。对于视频图像压缩感知的研究，不仅使得信号采集成本降低，而且通过重建算法的改进等措施，可以同时达到信号解码端低功耗、高效等的实际要求。

1. 2  压缩感知理论简介

压缩感知问题可以表示为：从 中恢复原始信号 ，其中 是一个 的随机测量矩阵，并且 。我们称 为下采样率。测量过程 是由采样装置完成的，在采样的同时完成了对 的降维。如果 是足够稀疏的，则重建是精确的。

压缩感知中主要涉及以下问题：a.信息的稀疏表示问题，即如何选择合适的基底 使信号 在该基底的作用下更加稀疏。b.如何采样的问题，即选择哪种合适的采样机制，从而合理利用信号的稀疏性，使我们能在取得较少的测量值的情况下获得重建信号。c.稀疏信号的重构问题，即以何种算法精确重建非完全采样情况下信号。通过下面的描述可以更加清楚地说明压缩、降维等过程与数据采集之间的关系。其中涉及到的数学知识包含线性代数、基本的运筹与优化概念以及概率论的基础知识等。

1.2.1  信号的稀疏表示

考虑一个实值的一维有限长度的离散信号 ，长度为 ，变换矩阵为 ，则信号可表示为：

                              （1）

上述(1)式表达了对信号进行稀疏变换的过程。如果上式中系数 只有 个分量为非零值 ；或者，在经过排序以后，系数 按指数级衰减并且导致其值最后趋于零，那么就说信号 为稀疏的。信号的可稀疏表示可以作为压缩感知问题的先验条件。信号具有稀疏性，是压缩感知理论应用前的必不可少的条件。

1.2.2  压缩感知线性测量

压缩感知的测量过程可以用数学语言描述为： 

                              （2）

其中测量矩阵 是一个与稀疏基 不相关的 矩阵。得到的测量值 是 的矩阵，这一过程使得被测量的对象 从原先的 维降低为测量后的 维。测量矩阵 的选择是不依赖于信号 的，即测量过程是非自适应的。测量矩阵的设计重心是要满足信号从 转换为测量值 的过程中，所得 个测量值不会破坏原始信号的信息，以确保信号的精确或近似重构。

将信号 稀疏表示，则（2）式可转换为（3）式：

                       （3）

上式中 为一个 的矩阵。上式中，方程的个数远远小于未知数的个数，即方程是欠定的 。由于方程没有确定的解，所以我们无法重建原始信号。然而，当（3）式中的矩阵 满足有限等距的性质（RIP），即对于任意 稀疏信号 和任意常数 ，如果有矩阵 满足：

                       （4）

则可从 个测量值中准确重构 个系数。有限等距性质的等价条件是测量矩阵 和稀疏基 不相关。

至今，压缩感知中常用的的测量矩阵主要有以下几种：一致球矩阵，高斯随机矩阵，傅里叶随机矩阵，二值随机矩阵（伯努利），哈玛达矩阵等。