2。2 电动舵机系统的数学模型

2。2。1 无刷直流电机的数学模型

    由于内部结构复杂且存在很多非线性因素，所以以星形连接的两相导通三相六状态全桥驱动电路为例建立无刷直流电机的数学模型，提出理想的假设条件[26-29]：

  （1）假定电机定子在空间上呈对称分布；

  （2）各相元件参数一样；

  （3）气隙磁场和反电动势分别为方波和梯形波；

  （4）忽略定子绕组电枢反应的影响；

  （5）气隙磁导均匀，磁路不饱和，不计涡流损耗；

  （6）电枢、绕组间互感忽略；

在此条件下开始建立电机模型。

图2-6 无刷直流电机Y型绕组结构

   直流电机励磁方式中使用较多的励磁方式为他励磁，可以将单相绕组作等效处理，等效为电阻、电感和反电动势串联的电路，直流电机的数学模型如图2-7所示。

图2-7 直流电机等效电路图

   回路的电压平衡方程：

                         (2。1)

   其中，为电枢电压，为电枢电流，为电枢总电感，为电枢总电阻，为反电动势。

   反电动势方程为：

                             (2。2)

   其中，表示反电动势系数，表示电机转子转动的角度。

   转矩方程：

                              (2。3)

   其中，为转矩系数，与上述相同，仍为电枢电流。

   转矩平衡方程：

                         (2。4)

   其中，为电磁转矩，为电机轴上总的转动惯量，为总阻转矩。

   将内部采用三相星型接法的无刷直流电机进行等效，由基尔霍夫电压定律，各相的相电压方程如下：

         (2。5)

   其中，、、为各相绕组电压；、、为各相绕组反电动势；、、为各项绕组的电流；为各相定子绕组的电阻；为各相绕组的自感；为任意两项绕组绕组的互感。

   当采用星型连接并且没有中线的时候，有如下关系式：

                           (2。6)

   上式两边同乘一个，可以得到：

                         (2。7)

   将（2。6）和（2。7）代入式（2。5）中，经过计算可得：

           (2。8)

   即无刷直流电机的状态空间表达式。   

   其中，P为微分算子，；为各相绕组的等效电感，。

   无刷直流电机模型是采用的星型连接方式，根据电机换相的原理可知，每时刻只有两相导通，可得到如下关系式：

               (2。9)

   采用星型连接方式的无刷直流电机的绕组具有对称性，令

   将（2。10）、（2。11）、（2。12）代入（2。9）中可得：

   反电动势方程：

   电磁转矩方程：

   其中，是电机的转矩；是电机转矩系数。

   电机的机械运动方程为：

   其中，是电机转子的转动惯量；是负载转矩,是粘滞摩擦系数。