将式（2。2）代入式（2。1）得到

                              (2。3)

由材料力学的平截面假设得知，弯矩与挠度的关系为文献综述

                               (2。4)

把公式（2。4）代入公式（2。3）可以得到梁弯曲振动的微分方程

                     (2。5)

对于等截面均质直梁，和EI为常数，于是方程成为

                          (2。6)

我们先考虑梁的自由振动，即令方程（2。6）中的f=0,m=0，得到等截面均质直梁的弯曲振动微分方程

                            (2。7)

2。3  柔性身管的振形函数和固有频率

公式（2。7）为一个四阶常系数线性齐次常微分方程，可用分离变量法来解。

设梁有如下形式的横向固有振动

                             (2。8)

将上式代入方程（2。7）得

                      (2。9)

其中表示W（x）对x的4阶导数。

将式（2。9）变形得

                           (2。10)

记上式两边都等于并且，因此式（2。10）可以分离为两个独立的常微分方程其中式（2。11a）是一个四阶常系数微分方程，特征方程是

方程（2。13）的特征值为来,自.优;尔:论[文|网www.youerw.com +QQ752018766-

所以，方程（2。11a）的通解为            (2。14)

方程（2。11b）的通解为

   (2。15)把公式（2。14）和公式（2。15）代入公式（2。8），就可以得到梁的挠度公式    (2。16)

由悬臂梁边界条件知

将公式（2。17）代入公式（2。14），得                     (2。19)

将公式（2。18）代入公式（2。14），得          (2。20)

要使方程（2。20）有非零解，则            (2。21)

化简得 (2。22)

方程（2。13）经过matlab[22]的计算后得到             (2。23)

固有频率为       (2。24)

固有振型函数为 (2。25)其中  (2。26)

2。4  用振形叠加法求柔性身管的振动响应

由固有振型的正交性得