MATLAB期权数值解算法及股票预测模型(7)
解 在率例中, ．根据二叉树法的基本原理, 按照如F步骤计算期权的价格
(1)设定时间步数和时间步长．将 分成100等份, 步长为
(2)计算二叉树的相关参数：
(3)构建二叉树, 计算标的资产价格；
(4)通过二叉树倒推计算美式期权的价格．
注 由于是美式期权, 故需要在每个结点检查是否行权．
程序调用；
>> LatticeAmCall(100,100,0.1,1,0.25,100) 6.5469
从上述例子可以看出：通过引入二叉树法, 可以解决十分棘手的美式期权定价问题．
2.3. 有限差分法
有限差分法是独立于蒙特卡罗法和二叉树法的一种新的衍生证券定价方法．有限差分法包括内含有限差分法和外推有限差分法．
2.3.1. 有限差分法的基本思想
有限差分方法的基本思想是：先将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程, 再用迭代法求解这些差分方程, 最后得出衍生证券的价格．
为了说明这种方法, 考虑一个不支付红利的股票期权．股票期权的价格所满足的偏微分方程是
(2.3.1)
假设现在是0时刻, 把从0时刻至期权的到期日T分成N个等间隔的时间段, 每段步长足 , 这样总共有 个时点： ．
假设 为股票价格所能达到的最大值, 定义价格步长为 , 其中M给定的价格步数．这样就有M+1个股票价格点： ．
上述价格点与时间点构成了一个共有 坐标点的方格．如图1.3.1所示．图中的任意点( )对应的时间是 , 股票价格是 ．
用 表示点( )的期权价格．这样, 就可以用离散算子逼近 各项, 从而把上述偏微分方程转化为离散方程．
2.3.2. 差商法
如果函数 充分光滑, 则在点 处 可近似写成
(2.3.2)
或
(2.3.3)
式(2.3.2)称为前向差分近似, 式(2.3.3)称为后向差分近似. 将式(2.3.2)和式(2.3.3)进行平均, 得到一个中心差分近似
(2.3.4)
因为一阶导数的对称近似误差比前向差分近似低.
在点 处的 的有限差分近似, 由于 在点 处的后向差分近似由式(2.3.3)给出, 并且 在点 处的后向差分近似为
所以 在点 处的有限差分近似可取为
(2.3.5)
由Taylor展开可知, 前向差分近似和后向差分近似的误差均为 的同阶无穷小, 中心差分近似和二阶差分近似的误差为 的同阶无穷小.