分数阶理论在可积系统中的应用
毕业论文关键词：孤子方程族；零曲率方程;Hamilton结构;可积耦合
Application of Fractional Order Theory in Integrable Systems
Abstract: First of all, this paper gives the definition of integrable coupling, the definition of fractional calculus and its properties. Then the introduction of a Lie algebra, a new spectrum problem is given by Lie algebra, using the fractional zero curvature equation to obtain a new fractional order soliton equations and its Hamiltonian structure. Finally, the introduction of a new matrix Lie algebra, using the fractional order zero curvature equation to construct the fractional order integrable coupling of the soliton hierarchy and its Hamilton structure. This method in this paper can also generate integrable coupling of other fractional soliton equation.
Key words: Soliton equations; Zero curvature equation; Hamiltonian structure;Integrable coupling
目 录
摘 要．1
引言．2
1．预备知识．3
1. 1可积耦合的定义. 3
1. 2分数阶微积分的相关定义.3
1．3分数阶微积分的运算性质.3
2．一个新的分数阶孤子方程族4
2. 1一个新的Lie代数．4
2．2由Lie代数生成新的分数阶孤子方程族．4
3．新的孤子方程族分数阶可积耦合6
3．1一个新的矩阵Lie代数6
3．2利用新的Lie代数构造新的孤子方程族分数阶可积耦合. 7
3. 3新的孤子方程族分数阶可积耦合的Hamilton结构.9
4．结束语.12
参考文献．13
致谢14
分数阶理论在可积系统中的应用
引言
在孤子理论中,怎样将已知的可积系统扩展为一个更大的可积系统,吸引着无数的专家和学者进行研究[1-4].因为这个课题,不但有很大的挑战性,而且还具有更丰富的数学意义和物理意义[5-7].经过一代代专家和学者的不懈努力,找到了多种求解的方法,比如说利用半直和的李代数的方法[8]、扩大对应的Lax对的方法、扩大新的loop代数的代数方法、摄动方法等.
对于无限文Hamilton可积系统,还存在很多的未知需要我们去探究.但是对于其有限文的几何理论的研究,在1988年,屠规彰和Boiti就发现了可行的方法,从等谱问题出发,来研究孤子方程族的Hamilton结构.从此以后,对于这个课题,就有了很多的改善和创新.
对于分数阶理论,首先分数阶微积分诞生于1965年，是在两位学者的通信中第一次探讨了“二分之一阶的导数”.到十九世纪末,很多专家和学者都致力于分数阶的研究.到上世纪九十年代,分数阶微积分理论在自然与科学的各个领域都得到了广泛的应用.
为能够顺利完成这篇论文,我阅读了很多的相关书籍和专家学者的著作,最重要的是,指导老师对我的悉心指导和帮助.
论文内容可以分两大部分：
(1)是引进一个Lie代数,由Lie代数给出一个新的谱问题，利用分数阶零曲率方程得到一个新的分数阶孤子方程族；
(2)利用可积耦合理论,得到孤子方程族的分数阶可积耦合及其Hamilton结构.
1.预备知识
1. 1 可积耦合的定义 设 (1)
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