微分方程在数学建模中的应用(2)
本文同样借助于SIR模型及其改进模型对手机病毒传播建模分析,在交通流问题中引入几个描述交通流运动的基本函数,然后建立了交通流的微分方程,推导出了连续和间断交通流方程,最后将该模型运用于交通流中红绿灯问题.
1.微分方程手机病毒传播模型中的应用
1.1情境再现
现代通信网络的发展越来越快,手机的更新与换代也是越来越快,给生活带来了许多方便的同时,手机病毒也逐渐成为的许多手机用户的最关心的手机安全问题,病毒可以通过手机网络改变软件环境、修改硬件的配置等而导致手机系统无法正常的运行,通过网络的链接等手段,盗取手机上个人信息,使个人信息泄露,人造成巨大的损失.因此手机病毒问题成为了广大手机用户最为担心的问题.
1.2问题分析
通过对手机病毒传播的分析,借助于SIR模型[6]的思想,将在手机网络中的运行的手机分为三类： 、 和 ,分别表示为：易感染的手机,即在某时刻 虽然还没有感染,但是容易被网络中的病毒感染的手机数；已感染的手机,即在某时刻 已被感染病毒了,并且能够传播病毒的手机数；和已经免疫的手机,即在某时刻 表示已经感染的手机恢复为正常的手机数.如果设总手机数为 ,于是有 .
1.3模型的建立与分析
1.3.1模型假设
通过上面的分析,在SIR模型中的三类手机之间是可以相互转化的,做出以下的假设:
(1)对于已感染的手机和易感染的手机,可以假设在单位时间 内,它们成正比的关系,并且这里设比例系数为 (感染系数),于是所有感染的手机数可以表示为 .
(2)对已感染的手机和能恢复到正常手机,可以假设再单位时间 内,它们成正比的关系,并且这里设比例系数为 (恢复系数),于是在 时刻单位时间内已感染手机恢复到正常数目为 .
(3)为了方便研究分析,这里设处于蓝牙网络系统中手机的总数 ,且假设 数目始终保持不变,为一个定值.
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