偏微分方程包括弦振动方程,热传导方程,拉普拉斯方程,特里谷米方程等。其中,拉普拉斯方程的解就是调和函数,在很多邻域中起着重要的作用 。
调和函数是复变函数论 中的概念。调和函数与解析函数有某些类似的性质,本文的目的之一便是讨论调和函数的性质。另外,偏微分方程的求解能用来推动各学科的发展,本文也会讨论调和函数的一些边值问题,即属调和函数的应用范畴。
另外,本文是一篇综述型论文。
2  调和函数的性质
这一章主要是了解一些关于调和函数的预备知识,方便后面对Dirichlet问题等的探讨。
这一章节的研究中,主要碰到了将极值原理推广到一些特殊函数上的困难,为了克服这个困难,结合了次调和函数的最值原理。同时,根据研究得出,调和函数序列在减弱条件下的收敛性质不成立。
本章的主要结构如下
给出调和函数的定义及讨论二元调和函数与解析函数的联系;
给出调和函数的极值原理;
③研究调和函数序列的收敛性质;
④讨论次调和函数的最值原理及讨论Perron族。
2.1  调和函数
    调和函数是一种定义在实欧氏空间开集上的一类函数,为了方便后面的探讨,我们先给出它的定义。
    定义2.1.1  设 元函数 是一定义在 上的二次连续可微函数, 在 上调和当且仅当
 
其中 , 表示对第 个变量的二阶偏导数 。
    在本文中,如无特殊说明,我们均假定调和函数是二元且实值的。
根据解析函数论,我们知道,在区域 内解析的函数具有任意阶导数。因此,在区域 内,它的实部 与虚部 都有两阶连续偏导数,且有如下性质。
设 在区域 内解析,则由 方程即                      
因 与 在 内连续,它们必定相等,故在 内有
 
同理,在 内有                
    根据调和函数的定义,我们知道 及 都是 内调和函数。
定义2.1.2  在区域 内满足 方程
 
的两个调和函数 , 中, 称为 在区域 内的共轭调和函数。
根据定义2.1.2,对任意定义在单连通区域 中的调和函数 ,都存在一系列调和函数 ,使 是 内的解析函数。
另外,文献 中还提到了求解共轭调和函数的方法。
2.2  调和函数极值原理
根据Cauchy积分公式 可知,解析函数具有平均值性质。类似的,调和函数也有平均值定理,本节的主要内容就是运用平均值定理来证明调和函数的极值原理。
平均值定理2.2.1   如果函数 在圆 内是一个调和函数,在闭圆 上连续,则
 ,
即 在圆心 的值等于它在圆周上的值的算术平均数。
    下面运用平均值定理来证明调和函数的极值原理。
    极值原理2.2.2   设 在区域 内是调和函数,且不恒等于常数,则 在 的内点处不能达到最大值或最小值。
    证  如若不然,假设 在 的内部 处取得最大值,即在 内的某一个圆 内,有 。
    另外,根据调和函数平均值定理,有
 
    因为 的连续性,可知在 内, 。运用滚圆法可知在 的恒有 ,矛盾。
    同理,可证 在 的内部无法取到最小值。证毕。
    由此,根据文献 也有下面的推论形式:
推论2.2.3  设(1) 在有界区域 内调和,在 上连续;(2)沿边界 常有 ,则除 为常数的情形外,在 内一切点处必常有 。即,如 非常数,则 在 内不能达到最大值 ,而只能在边界上达到。
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