调和函数的性质与应用+文献综述(5)
， .
当 时， ，故 ；
当 时， 。
于是，对 中的任意函数 ，有
,
显然， 是调和函数，故 是次调和函数。根据最值定理，有 。由此得到： 。
类似地，考虑函数 。
可得出
.
所以 ，证毕。
上述定理中的 称为在 处的闸函数。
一个区域称为Dirichlet区域，如果该区域的Dirichlet问题是可解的。根据定理3.1.1，如果一个区域的边界上的每一点的闸函数存在，那么这个区域就是Dirichlet区域。
比如，设 除去边界 上的点 外均在一个开的半平面内。如果 在过 的仰角为 的直线的左边，那么 处的闸函数 。
事实上，令 ，对 上除去 外的任意点 ，存在 与 ，使得 。其中 。故 。
更为一般地，若 是一条线段的一个端点，这条线段除 外都在 的外部，它的另一端点是 ，则函数 在 内可以取定它的一个单值分支，它把 变为一个区域，这个区域连同其边界就在其一条直线的一侧，于是适当选取 ，函数 就是 的闸函数。
由此，我们有
定理3.1.2 如果区域 的每一个边界点是 的外部一条线段的端点，则 是Dirichlet区域。特别地，若 的边界 是由有限多条Jordan曲线所组成，则 是Dirichlet区域。
3.2 Dirichlet问题的Green函数法
本节主要运用Green函数的方法来求解Dirichlet问题，并给出Dirichlet问题的一般解。
定义3.2.1 设 是一个区域， ，称函数 是关于奇点 的Green函数，如果它具有性质：
（1） 在 内除 点外是调和的；
（2）若 ， ， 在 点邻域内调和；若 ， ， 在的 邻域内是调和的。
（3）对于 上的任意一点 ， 。
对于给定的区域 及 内一点 ，关于 点的Green函数不一定存在。但是，如果一个区域 关于 点的Green函数 存在，则它必是唯一的。事实上，若 也是 内关于 点的Green函数，那么 在 内调和，且在 上恒为0，由极值原理， ，即 。
另一方面，一个有界的Dirichlet区域 关于任意点 的Green函数 是存在的。事实上，以 为边值求解的Dirichlet问题，设它的解为 ，则函数
就是 关于 点的Green函数。因此我们有
定理3.2.2 若 是有界的Dirichlet区域，则对于 内的每一点 ，Green函数 是存在的。
另外，在文献 中提到了一些Green函数的求解方法，如镜像法。
在给出Dirichlet问题解的表达式之前，先给出要用到的Green公式。
根据散度定理
以三文为例，令 ，则
设 都是二阶连续可微函数，令 ， ， 。
即： ， 将之代入散度定理：
故有 ，从而有 （3.2.1）
这就是格林第一公式。
在（3.2.1）中交换 和 的顺序，有 （3.2.2）
（3.2.1）减去（3.2.2）后，整理得到：
这就是格林第二公式。
下面就给出Dirichlet问题解的表达式。
定理3.2.3 设 是一个由有穷多条分段光滑Jordan曲线所围成的区域， 是 内关于 的Green函数，那么，对于 上任意给定的连续实函数 ，Dirichlet问题的解可表示为
， （3.2.3）
其中 是 作为变量 的函数在 上的外法向导数。
证 我们假定 和 在 上有连续的一阶偏导数，在此之下证明这个定理。设 是 内任意一点，在 内作小圆 。记 。在Green第二公式