极坐标系下积分的计算及其应用(2)
1.1定积分的定义
定义1 设函数 在闭区间 上是连续的，区间 被分割成 个子区间 ， ， ， ， ，其中 ， .则可知各小区间的长度依次为
， ， ， .
从每个小区间 中任意取一点 ，作和式
.
则存在常数 ，满足 为 在 上的定积分，即
，
当 时（ ）， 为上述和式的极限.其中被积函数是 ，积分变量是 ，积分区间是区间 ，该定积分的下限是 ，下限是 .
1.2二重积分的定义
定义2【2】 设 是定义在可求面积的有界闭区域 上的有界函数，如果把区域 分成 个小面积的任意区域： ， ， ， ，而 既表示第 块小区域，又可表示该小区域的面积，现从小区域 内任意取一点 ， ，可作和式
.
其中 中任何两点之间距离的最大值用 表示（也就是说 是 的直径），记 ，如果不管 如何分割，点 在 中如何选取，当 时，所有的和式都将趋于同一常数 ，此时，函数 在区域 上的二重积分就是常数 ，且记 ，即
，
我们就说，在积分区域 上被积函数 是可积的，的这里 ， 是积分变量， 是被积表达式， 是积分面积微元.
1.3极坐标系的定义
定义3 在平面内，取一定点 并从该点引出一条射线 ，则该定点称为极点，引出来的射线就称为极轴.截取一定长度作为长度单位，然后选定角度的正方向（常常把逆时针的方向作为正方向）.在平面内任意找出一点，记为 ，若线段 的长度用 表示，从极轴 到 的角度用 表示，那么 就叫点 的极径， 就叫点 的极角，而有序数对 就叫点 的极坐标，像这样的坐标系就统称极坐标系.
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