拉普拉斯方程及其解的探讨(2)
1. 预备知识
1.1拉普拉斯方程
最常用的三种坐标系中的拉普拉斯方程的表达式如下：
在直角坐标系 中
在圆柱坐标系 中
在球坐标系 中
.
1.2拉普拉斯方程的定解条件
定解条件包括初始条件和边界条件.
我们在探究随时间 变化的问题时，必须考虑某个初始时间的状态，这种用来说明初始状态的条件叫做初始条件.
对于拉普拉斯方程，因为它是描述稳定情况下的状态，和时间 没有关系，因此没必要提及初始条件.
和上述条件相对的，我们把用来约束边界的条件称为边界条件.
概括来说，从数学角度看，拉普拉斯方程对应的边界条件有以下三种类型：
（1）对于未知函数 的值在边界 上给出的，即
（1.2.1）
式子（1.2.1）称作第一类边界条件.
(2)在边界 上,给出未知函数 和它沿边界 的外法线方向的值，即
， （1.2.2）
其中 表示界 的外法线方向.式子（1.2.2）称为第二类边界条件.
（3）给出在 上的函数 以及 的导数某一线性组合的值（沿 的外法线方向），即
. （1.2.3）
式（1.2.3）称作第三类边界条件.
上述三个式子右端项 都是定义在边界 上的已知函数，因为拉普拉斯方程与时间变化量 无关，所以函数 不含 .
1.3拉普拉斯方程的边值问题
当一个数学物理方程与相应的定解条件一起才能构成对具体问题的完整描述，这类问题称为定解问题.边值问题是无初始条件，唯有边界条件的问题。此问题可分以下三类：
第一类边值问题 ；
第二类边值问题 ；
第三类边值问题 .
对于以上边值问题，在空间 内的有界区域 的边界 是光滑或分片光滑的.
2.拉普拉斯方程的导出
在稳恒电流场的任一点上，电流密度 和电场强度 在数量关系上成正比，比例系数是这一点的电导率，即
（2.1）
因为它对于任意一点都成立，所以可以用于任意形状的不均匀导体介质以及电流密度的不均匀分布.
关于一个稳态的电流场，任何封闭曲面，曲面包含电流 的电流源的通量表达式是
（2.2）
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