数学归纳法的内蕴思想探究
毕业论文关键词 数学归纳法；数学思想；
数学教学高中教材中我们认识了数学归纳法，然而我们对它的理解仅仅限于，知道在运用数学归纳法时所需要的两个步骤.对于数学归纳法的原理，老师也是用多米诺骨牌这个例子做的解释，我们的理解到此为止.然而，正如华罗庚在《数学归纳法》一书里提到， “我在中学阶段学习数学归纳法的时候，总认为学会了‘1对；假设n 对，那么n +1也对’的证明方法就满足了.” “难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前怎么去找出公式来”.我们在学习的过程中，也常常会忽略过程，忽略数学方法、数学命题本身所蕴含的数学思想，只在意结果.比如，当我们用数学归纳法去证明 2) 1 (3 2 1+ = + … + + + n nn 时，我们并不会去深究这个结果是怎么来的，只是按照数学归纳法所需要的步骤证明完这个命题，就可以了.可如果不深切的探究，我们所学到的就只是表面，见到的只是冰山一角，这对于知识的掌握、知识系统的建构都是不利的.而且许多学生在学完数学归纳法后会问：为什么 1 + =k n 时的命题可以在假定 k n= 成立的情况下成立？为什么数学归纳法只用两步就可以解决对无限多个命题的验证？这个证明方法有依据吗？依据是什么？而这些问题也是接下来要讨论的问题.1 数学归纳法从哪里来？我们在学习一个知识点时，常常要搞清楚它的来龙去脉。因此，在学习数学归纳法的过程中，我们也要问这样的问题：数学归纳法是什么？它从哪里来？1.1 数学归纳法的思想溯源自然数集（本文提到的自然数集中均不包含 0）是人们最早认识的数学概念之一.正如小孩子学数数一样， 最初人们认识的也只是一些较小的数， 并且是关于有限个自然数的问题.但是自然数集是一个无限集，这个集合包含了无穷多个自然数.人们在研究自然数集时，不能写出所有的自然数，也不能对自然数作无穷多次的操作.为了解决这样的问题，人们在有限集和无限集之间架起了一座桥梁，这座桥梁就是——数学归纳法.数学归纳法是证明与自然数n 有关的命题 ) (n P 的一种方法，其作法如下：（1）证明 ) 1 ( P 是真命题；（2）假设 ) (k P 是真命题，证明 ) 1 ( + k P 也是真命题.若上述两步都是真命题，那么我们就说 ) (n P 对所有的自然数n 都是真命题.在数学中，通常把由某一序列元素 n a a a a … , , ,3 2 1 过渡到下一个元素 1 + n a 的过程称为“递归” ，而数学归纳法就是一种递归方法，且是最早被掌握的递归方法之一.数学归纳法不同于归纳法，其出现的时间也比归纳法更晚.归纳法产生于公元前 6000年，作为一种推理的方法出现； 作为数学归纳法重要基础的归纳推理与演绎推理的历史， 也要上溯到毕达哥拉斯时代. 公元前 300年，欧几里得在其所著《几何原本》中证明“素数有无穷多”时指出：如果有 p 个素数，则必有 p +1个素数，这里的证明才包含了递归的思想.在近代，意大利数学家莫洛里科最先将递归方法作为证明命题的方法用到数学中.他利用该方法证明了前n 个奇数的和等于 2n .但是对于该方法他并没有作更为明确的阐述.十七世纪，法国数学家帕斯卡明确而清晰的表述了数学归纳法，他利用该方法证明了二项式系数 !) 1 - ( ) 2 - )( 1 - (kk n n n nC kn+ … = ，可是，尽管他出色的使用了数学归纳法，但令人遗憾的是他并没有给这个方法命名.直到十九世纪，英国的数学家德•摩根才正式的提出数学归纳法这一名称.然而，直到意大利数学家皮亚诺提出“皮亚诺公理”之前，数学归纳法并没有得到世界的广泛承认以及运用，因此，皮亚诺公理的出现为数学归纳法的广泛运用提供了逻辑基础.1.2 数学归纳法的逻辑基础——归纳公理1889年，意大利数学家皮亚诺在他的《算术原理新方法》中提出了自然数的序数理论，他用公理化的方法，从顺序着眼，揭示了自然数的意义.皮亚诺公理系统的核心内容如下：一个非空集合 N 的元素叫做自然数，如果 N 的元素间有一个基本关系“后继” （用符号“ ’ ”表示） ，并满足下列公理：（1） N 1∈ ，对任意 . 1 , ≠ ′ ∈ a N a（2）对任何 N a∈ ，有唯一的后继元素a′（ b a= b a ′ = ′ ⇒ ).（3）1以外的任何元素，只能是一个元素的后继元素（即 b a b a = ⇒ ′ = ′ ）.（4）（归纳公理）若 N M ⊆ 且° 1 M ∈ 1° 2 M a M a ∈ ⇒ ∈ ′则 N M = .上述第四条的归纳公理就是数学归纳法的基础.由它可以直接推出第一数学归纳法的原理，即：设 ) (n P 是一个与自然数n 有关的命题，如果（1） ) 1 ( P 成立；（2）假设 ) (k P 成立，则 ) 1 ( + k P 成立；那么 ) (n P 对任何自然数n 都成立.证明这个定理的正确性，我们可以利用归纳公理来说明.证：大前提：归纳公理小前提：设 M 是满足命题 ) ( n P 的自然数组成的集合， N ⊆ M .因为 ) 1 ( P 成立，所以1∈M.又由（2） ， M k ∈ M k ∈ + ⇒ 1 ，根据归纳公理知，所有的自然数都包含在 M 中.结论：M=N，即 ) ( n P 对任何自然数都成立.利用归纳公理来证明数学归纳法，是典型的三段论，是演绎.数学归纳法证明出来的结论一定是正确的，
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