探讨导数在函数单调性中的应用(2)
1.2函数的性质
函数的性质主要有函数的单调性, 奇偶性, 函数的极值, 本文主要做单调性和极值的研究.
1.2.1函数的单调性
定义2 一般地,设函数 的定义域为 , 若对于定义域 内某一区间上任意两个自变量 和 , 当 时, 恒有 ( ) ( ), 那么就说 在此区间上是增函数．
定义3 一般地,设函数 的定义域为 , 若对于定义域 内某一区间上任意两个自变量 和 , 当 时, 恒有 ( ) ( ), 那么就说 在此区间上是减函数．
定义4 若 在某个区间上是增（减）函数, 那么就说函数 在这个区间具有单调性, 这个区间叫做函数 的单调区间．
下面通过简单的几个例题简单的求函数的单调区间：
例 1 求下列两个不同函数的单调区间.
⑴ ； ⑵
解 利用导数求解函数的单调性简单直接
⑴ 由题意可知
即得出函数的单调增区间为
令 得到函数的单调减区间为
⑵由题意可知函数的定义域为 则有
则令 得出函数的单调增区间为
令 得到函数的单调减区间为
这是函数的单调性用导数怎么求解的简单应用,后面将运用于大量的例题中．从例题中可以看出导数在求解函数的单调区间中有着很简便的运用,所以在求解函数的单调区间时我们应该首选求函数的导数.
1.2.2函数的极值
定义5 函数 在点 周围的所有点都满足 ,那么称 是函数 的一个极大值,简单记作： ;
定义6 函数 在点 周围有定义,若对 周围的所有点都满足 ,那么称 是函数 的一个极小值,简单记作： ;
极大值与极小值合起来统称为极值,称 为极值点．
例2 求函数 的单调区间和极值.
解析 在求复杂函数的极值以及单调性的问题时我们可以分成几个步骤.
第一步：先求出函数的定义域
第二步：求出函数的的导数.
第三步：让导数等于零,再来求解函数的单调区间.
第四步：画表格,把原函数导数的符号用表格的形式表示出来,进而求出函数的极值
解 该函数的定义域为 ,
令 = 得驻点
又 在点 处导数不存在,它们把 分成四个区间,列表讨论 的符号
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