陪集的性质与应用(2)
定义1.5 设 是 的正规子群，任取二陪集 与 ，则根据群中子集的乘法
即 .我们称这个为陪集的乘法.
定义1.6 群 可表示成子群 的一些互不相交的左陪集之并. 因此， 群的子群 的全体左陪集的集合组成群 的一个分类. 即
，
其中， 取遍 的不同陪集的代表元素. 特别，如果 为有限群， 则
其中， 为 的不同左陪集的个数.
定义1.7 若群 中每个元素的阶都有限，则称群 为周期群.
2. 陪集的性质
性质2.1 设 是一个群， 是 的子群， ，则
证明 因为 是 的子群， ，故
（证毕）
性质2.2 设 是一个群， 是 的子群，
.
证明 设 ，则由性质1知 ，故 .
反之，设 .因为 是子群，故 ；
又任取 .由于 ，故 ，且
.
(证毕）
性质2.3 设 是一个群， 是 的子群，
证明 设 .令 ，则由性质（2）有 .
反之，设 .则因 ，故 .
（证毕）
性质2.4 设 是一个群， 是 的子群，
，即 与 同在一个左陪集中 （或 ）.
证明 由设 则
， .
于是由性质2.2知， .
反之，若 ，则依上倒推回去即得 .
(证毕）
应注意，把性质3和性质4结合起来，就得到：
，即 与 同在一个左陪集中 （或 ）.
性质2.5 设 是一个群， 是 的子群，若 ，则 .
证明 设 ，则 ， .于是根据性质3可知
（证毕）
这个性质表明，对于任意两个左陪集来说，两者要么是相等的，两者要么没有公共元素（即其交为空集）.
性质2.6 的每一个元素只属于一个右陪集.
证明 存在 ，因为 是一个子群，单位元 ，所以 ，就是说元素 属于右陪集 .
设 ，那么
由此得， ，而 的任意元素
所以 ，同理可得， 所以 ，即 只能属于一个右陪集.
（证毕）
性质2.7 设 是一个群， ， 则对于任意 ， 恰由 中的每个元素的逆元组成. 即有
.
证明 设 ， 任取 ， 其中 ， 因为
， 且 ，
所以 ， 故 ，因此 .又任取 ， 其中 ， 则 ， 所以
，
因此 ， 所以
.
(证毕）
性质2.8 设 为群， .若则下列各条件等价：
（1） .
（2）任意的 ，存在 ，使得 (任意两个左（右）陪集之积还是左（右）陪集）.
证明 ：任意的 ，有
：因为 ，有
，
即 ，有
即 ，得 ，或 ，于是
由 的任意性，故（1）成立.
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