数周期性的初探(2)
2.1 设有函数 ) (x f ， ) ( f D 非空，若在 ) ( f D 中存在一个数 0 l ，使得对于任意的 ) ( f D x ， ) ( f D l x ，有 ) ( ) ( x f l x f ，则称 ) (x f 为周期函数，l 是 ) (x f的一个周期.很容易看出定义2.1中周期函数的定义比许多传统定义下周期函数的定义更加完备、独立，也满足了周期函数的特点.2.2 实数集中的公约数和公倍数作为研究实值周期函数的必要基础知识，这里首先把实数集上的公约数、公倍数的概念及其一些相关的性质做一简单的论述.定义 2.2.1 设 n , , , 2 1 为n 个不全为零的实数，若存在实数 ) 0 ( ，n 个整数n k k k , , , 2 1 ，使得 ) , , 2 , 1 ( n i ki i ，则称 为 n , , ,
2 1 的公约数，又称n , , , 2 1 是可公度的.因此，若 是 n , , , 2 1 的一个公约数，则 ) 0 , ( m Z mm也是这n 个数的公约数.可见，在实数集中，当n 个不全为零的实数有公约数时，它们就有无穷多个公约数.定理 2.2.1 设 n , , , 2 1 为n 个不全为零的实数， n , , , 2 1 存在公约数的充要条件是：对任意的 ) 0 ( , , , ,2 1 j n j i ，都有 j i 是有理数.证明 必要性 设 是 n , , , 2 1 的一个公约数，对 n j i , , ,2 1 ) 0 ( j ， ) 0 ( , j ik k ，使得 i ik ， , j jk 故jijijikkkk .充分性 不妨设 0 n ，对 1 , , 2 , 1 n i ,有 N k Z m i i , ,使得,iinikm 从而有.in iikm 又令 0 n 为 1 2 1 , , , n k k k 的最小公倍数，则00nmkn niii ). 1 , , 2 , 1 ( n i 记 iiimknk 0， ) 1 , , 2 , 1 ( n i . 0 ,00 ） （ nn k nn 则有Z ki ，且 ). , , 2 , 1 ( n i ki i 从而， n , , , 2 1 存在公约数 .定义 2.2.2 设实数 n , , , 2 1 是可公度的，若在它们的正公约数中存在最大的，设为 ，则称 为 n , , , 2 1 的最大公约数.记作 ). , , , ( 2 1 n 定理 2.2.2 设实数 n , , , 2 1 是可公度的，则 n , , , 2 1 的最大公约数存在.证明 由定义 2.2.1,设 n , , , 2 1 有公约数 ) 0 ( ，则有n 个不全为零的整数n k k k , , , 2 1 ，使得
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