变量代换在微积分中的应用
毕业论文关键词：变量代换; 微分方程; 重积分
The Application of Variable Substitution in Calculus
Abstract: In the theory of calculus, variable substitution is used widely. In terms of differential, this paper mainly discusses the first-order homogeneous equation, Bernoulli equation and second order linear differential equation with constant coefficients, etc. This paper finds suitable variable substitution according to the different types of differential equations, and makes difficult to solve differential equation into the type of relatively easy to solve. In terms of points, this paper discusses variable substitution in integrals, and applications of double integrals and triple integrals.
Key words : Variable substitution ; Differential equation ; Double integral
目 录
摘 要 1
引言 2
1.变量代换概述 3
1.1变量代换的定义 3
1.2变量代换的意义 3
1.3变量代换的分类 3
2.变量代换在微分中的应用 3
2.1一阶齐次方程 4
2.2伯努利方程 6
2.3黎卡提方程 6
2.4二阶常系数线性微分方程 7
2.5欧拉方程 10
2.6可降阶的高阶微分方程 11
3.变量代换在积分中的应用 12
3.1 一重积分中的变量代换 12
3.2 二重积分中的变量代换 15
3.3 三重积分中的变量代换 19
4.小结 20
参考文献 22
致谢 23
变量代换在微积分中的应用引言
变量代换在数学史上的引入来源于“曹冲称象”的故事，转变研究对象问题就会变得简便明了，具体就是把某个式子（多项式和函数）用另一个新的变量代换，从而使问题简便化.变量代换的实质是转化，关键是设定变量，依据是等量变换，目的是变换研究对象使复杂问题简单化，非标准问题标准化.
微积分是高等数学的核心内容，因此对微积分解法的研究显得突为重要,微积分类型的复杂性，以及部分问题的不可求解令研究者束手无策，变量代换的引入使得部分问题迎刃而解.最值得大家学习借鉴的就是由王高雄等人编的常微分方程以及由华东师范大学数学系编的数学分析，在书中部分章节他们以严谨的科学态度对变量代换在微积分中的应用做了详细的探讨.
本文探究变量代换在微积分中的应用是求解一些较繁琐的微分方程，依据不同类型的微分方程寻找合适的函数做变换使得微分方程的阶数降低或化繁为简，同时所作的变量代换的形式应根据微分方程的特征决定.而变量代换在积分中的应用主要是求解重积分，本文分别探讨它在一重、二重以及三重积分的应用，根据被积函数或积分区间的特点选择合适变量代换，使得一些难以求解的重积分化为可求解的类型.本文我主要参考了文献[1]数学分析中重积分的求解，文献[3]微积分思想方法与学习指导，文献[8]几类应用变量代换求解的微积分，在前人的基础上，本文分别对变量代换在微分中和积分中的应用进行探讨，并举例说明.
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