摘要本文归纳总结了二阶混合偏导数相等的充分条件，并且简要分析了这些条件之间的关系，同时给出了四个新的推论.

毕业论文关键词：连续  二阶混合偏导数  累次极限41855

 Discussing the Sufficient Conditions About the Equality of the Second Order Mixed Partial Derivatives

Abstract

In this paper, we summarize the sufficient conditions for equality of the second order mixed partial derivatives , and briefly analyze the relationship between these conditions. Simultaneously, we give four new consequences.

Key Words: continuity  second order mixed partial derivatives  repeated limit

 目  录

摘要Ⅰ

Abstract-Ⅱ目录Ⅲ1 引言1

2 定理与推论-2

3 例题-10参考文献12致谢13 

1 引言 常见的二元函数的二阶混合偏导数是相等的，但并不是所有的二阶混合偏导数都相等，如：

  经计算知 ，所以 .由此可以看出二元函数的二阶混合偏导数的相等是有条件的。

我们常用的二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是 与 在点 处连续（即定理1），很显然这个定理的条件过强，本文的目的是减弱这个定理的条件，从而扩大定理的使用范围.文献[2]将定理1的条件“ 与 在点 处连续”减弱为“ 在点 处连续”，其不仅弱化了定理条件，也扩大了定理的使用范围；文献[5]将定理1的条件“ 与 在点 处连续”修改为“ 与 在点 处可微”，其从可微的角度阐释了二阶混合偏导数相等的条件，加深了我们对二阶混合偏导数的认识.文献[4]给出了六个推论，但是这六个推论的条件过强，不方便我们的应用，因此本文便从这六个推论出发，寻找新的条件减弱这几个推论.

文献[1]-[7]中，一共给出了七个定理，从这七个定理中，我们发现了几个有趣的结论.

下面介绍这七个定理和我们的四个结论，这四个结论以推论的形式给出.

2 定理与推论

    在给出定理与推论之前，我们要先给出偏导数的定义 ：

   同理我们可以给出函数 在点 处关于 的偏导数 .

    由于 的偏导数 ， 仍是关于 ， 的函数，若它们关于 ， 的偏导数也存在，则函数 具有二阶偏导数 .   

    定理1   .

    定理2   

有限极限 ，  且 .

　　定理3   

  ，  .在定理3中，我们可以看到只需知道 在点 处连续，就可以得到 存在，且有 .我们又知道只要 关于 连续，关于 一致连续，就可以得到 在点 处连续，因此，我们可以由定理3得出下面的推论.

　　推论1        ，  .

　　证明  在点 处，由 关于 连续可知， ，当 时，有 ,

又因为 关于 是一致连续的，所以对上述的 ， ，当 ，且当 时，有  ,

对于上述的 ,取 ，当 时，有   .

从而 在点 连续.接下来，我们可知由定理3可得 存在，且有 .  

    我们知道， 条件可以推出一致连续，那么上述推论的条件“关于 满足一致连续”也可改为“关于 满足 条件”.

　　推论2       ，   ，  .

　　证明  由于 关于 满足 条件，故存在 ，对 

又因为 关于 是连续的，故 ， ，当 时，有 ，

故对于上述的 ， ，当 , 时，有

从而 在点 连续.那么由定理3可得 存在，且有 .  

　　我们知道绝对连续函数一定是一致连续的，因此我们可以把上述的推论1修改一下，得到推论3.在给出推论3前，我们先给出绝对连续的定义.