第一，向量在代数中的应用。代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。代数作为数学的一个基础知识分支，在中学生学习数学知识的体系中占有至关重要的地位。而在学习过程中，一些问题往往有多个未知数，从而造成解题的繁琐。在适当的时候，利用向量的数的特性可能会有意想不到的效果。

第二，向量在三角函数中的应用。三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型题型，主要为三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线与垂直的充要条件条件，能充分掌握和熟练运用这些定义定理是处理好三角问题的关键。

第三、向量在解析几何中的应用。解析几何是高中的一个重点，它包含知识内容繁多，题目综合性强，蕴含着数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程等数学思想，问题涉及函数、方程、不等式、三角、平面几何、等方面知识。由于知识点的复杂性，解析几何的题型按照传统方法来计算可能会是解题过程繁琐不堪，而向量方法却能在某些时候弥补这一缺点。由于向量与解析几何都是代数形式和几何形式的统一体，有着异曲同工之妙．向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带；而解析几何也具有数形结合与转换的特征。所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高中数学命题的一个新的亮点。

第四，向量在立体几何中的应用。立体几何作为高考重点考察内容之一，主要考验学生的空间想象能力，在推理中兼顾考察逻辑思维能力。对于想象能力不是很强的学生，特别是女生，立体几何成为学习数学的难点。而传统的立体几何往往需要添加辅助线来解决问题，是的原本比较冗长的解题过程变得复杂。而空间向量是高中数学中的重要内容之一，却能在许多时候轻易处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角等问题。运用向量方法研究立体几何问题，实质是把综合推理转化为代数运算，建立“由形到形，由形到数，由数到数”这一个过程的转换。总的来说，运用空间向量思路简单，模式固定，避免了几何法中作辅助线的问题，从而可以大大降低立体几何问题的难度。 本文主要通过文献查阅，结合自己观点，总结关于向量的一些应用方法。

 第1章复数

1.1 起源

16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说：“一切形如， ， 的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”法国数学家棣莫弗（1667—1754）在1730年发现了着名的棣莫弗定理。