例2.1.1

定义 2.1.1：若对任意的正数 ，总存在自然数 ，对任意自然数 ，有不等式 ，则称数列 的极限是 ，记为：                           

判断下面两个叙述，其是否与 的定义 1等价，

(1) 有无穷多个 ，对每个 存在 ，对任意的自然数 ，有 ．

(2) 对任意正数 ，有无限个 ，使得 ．

以上(1)、(2)从表面上看与定义 1的描述非常相似，但仔细分析后发现其是不同的． 

叙述(1)对 虽有无穷多个且对每个 都存在 ，使对任意  时都有 ，但忽视了 这个量不仅是任意的，而最本质的是“任意小的正数”，而无穷多个 ，不一定能做到任意小．

例如， 数列{ }（ = ），尽管有无穷多个  >0，不一定能做到任意小．如 =3、4、5，可以使 （这里 可以0或1）小于3或4或5，等等，但却不能使 比任意小的正数 还要小．叙述(2)对任意的 >0虽有无穷多个 ，但它忽视了对每个 ，都必须存在某个自然数 ，即数列{ }中的某一项 ，从 之后的所有项都必须满足 ．

例如，数列{ }={1， ，1， ，1， ，1， ，}在0的任意 邻域 内都有无穷多个 = （取足够大的 之后），但在{ }中不论从哪一项开始，其后总有不含在（0- 、0+ ）内的项，这明显与极限的定义(1)中的“存在 不符合，对任意自然数  有 ”的要求．

因此推出(1)和(2)两个叙述与定义1不等价．

例2.1.2  

定义2.1.2   设 在 的去心邻域中有定义，若对任意的 ，总存在 ，对任意 :当   时有  . 则称 当 趋于 时，存在极限 ．

定义 2中首先设在 的空心邻域中有定义，且 ，这些都意着 在 是否存在极限与 在 是否有定义是无关的．但我们刚开始接触此概念时，容易以为若 在 有极限，那么 在 必然有定义，这通常都是对函数极限定义理解不准确、不全面的表现，事实上函数 在 是否存在极限与函数 在 是否有定义没有关系，其中包含两层含义：

一是 在 点可以没有定义，