4.2.5 向量 12

4.2.6 解析几何 13

5 均值不等式教学设计案例及分析 15

5.1 教学设计 15

5.2 分析 17

6 研究的结论与反思 18

6.1 结论 18

6.2 反思 18

参考文献 19

致谢 19

1 绪  论

不等式是表示数量之间大小关系的式子，在日常生活、生产或科学实验中，大量地存在着两个量或两个表达式之间的不等关系.而不等关系与相等关系一样是基本的数学关系，在数学研究和数学应用中起着重要的作用.不等式作为不等关系的数学形式，是初等数学及高等数学中一种应用广泛的解题工具，在中学各种竞赛、高考、专升本、研究生入学考试等各类考试中常出现有关不等式的题型.重要不等式凭借自身独特的形式在解题及实际生活中更是被广泛应用，如均值不等式.均值不等式作为一个基本不等式，我国的学者做了许多相关的研究.纵观学者的研究可以发现，研究人员多数为在职教师，他们主要从这两个不等式的证明和应用两个方面展开研究.同时随着社会的发展，学者对这两个不等式应用的挖掘也越来越深入.近几年在高考和各类数学竞赛题中，越来越多地出现需要借助均值不等式来解决的题目.

2 均值不等式

2.1 表现形式

对于任意的正实数 、 ，有不等式 ，当且仅当 时等号成立，有时候又被叙述为：任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数公式.

2.2 变形与推广

2.2.1 常见变形

1.  .                     2.  .

3.  .                 4.  .

5.若 ，则 .        6.若 ，则 .

上述不等式中当且仅当 时取等号.

2.2.2 推广

    一般地，如果 ，有不等式 ，当且仅当 时等号成立.

3 均值不等式在高中数学中所体现的教育价值

3.1 知识地位

均值不等式，选自普通高中课程标准实验教科书（人教版）必修五第三章第四节，是在学完不等关系、一元二次不等式的基础上对不等式的进一步研究，是高考考点之一.从应用价值上看，均值不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种领域中均有着广泛的应用.

从内容的人文价值上看，均值不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等.通过对均值不等式证明过程的探索，有助于培养学生思维能力和探索精神；通过对均值不等式形式和推广的掌握，让学生体会从特殊到一般的数学思想；通过对均值不等式等号成立的条件的分析，有助于学生养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯，是帮助学生提高数学能力良好的载体.