（五）、分析评价反例 13

六、总结 13

参考文献 14

致谢 14

一、引言

    有个这样的故事：在1644年，法国的修道士马林・默森提出了Mp=2p-1型的数[1]，就是说当p=2，3，5，7，13，17，31，67，257时所得结果都是素数，当时他只验算了前面的7个数。1903年在一次数学学术报告会上，著名数学家科尔要作报告，科尔走上讲台，他对听众点头示意后，就转过身，在黑板上写了两个式子，分别是267-1=1.4757395258×1020和193707721×761838257287，然后他又在这两个式子中间添上了“=”。整个过程他始终保持沉默。但就在他走下讲台的那一刻，会场就顿时响起了热烈的掌声。很明显，科尔已经通过举反例的方法向大家证明了267-1是合数不是素数，说的简单一些就是他解出了一道数学难题。数学家盖尔鲍姆和奥姆斯特德曾经指出“数学有两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标——提出证明和构造反例”[2]。

    所谓反例就是指符合命题的条件，却不符合命题结论的例子。用命题的形式描述一个数学问题，如果要判断它是错误的，只要给出一个满足它的条件但不满足结论的例子，就可以否定这个命题，这样的例子简明、直观、说服力强，在数学教学中具有不可忽视，不可替代的作用[3]。

    证明正确的命题要有严格的推导过程，而要推翻假命题的话构造反例就是必不可少的，更是有效的。反例的出现可以发现原有知识的的局限性，能促进数学概念、定理与理论的生成和发展。数学史告诉我们，对于数学中一些比较重要的课题和某些数学猜想的探讨与摸索，倘若能够给出严格的证明过程就是很不错的做法了，但是通过举出反例，去推翻命题或者去肯定命题是在同一地位上的。众所周知，数学的发展就是一个不断地提出问题并想方设法解决问题的严谨的过程，而后者又是通过给出严格的证明过程或给出典型的反例来解决的。因而在以后的数学教学学习中反例的应用不会在生活中淡出，相反的它会更加地深入。可以猜测到，反例在教学中的作用也会日益明显，尤其是在中学数学教学中。就发展来看，反例教学在未来会成为一种必不可少的重要的教学方法。在这里要指出的是，反例教学指的是，学生在老师指导监督下，根据科目的教学目标和教学内容，选择一些有典型错误的经典的例题去进行学习，并合作寻找错误的原因，改正错误，以达到完全理解和掌握数学基本概念和性质的程度，并尽可能地避免在解题中再次出错的一种有效的实用教学方法。《全日制义务教育数学课程标准》[4]也指出:要让学生通过具体的例子理解反例的作用,知道用反例可以证明一个命题是错误的，由此可见，成功的举出反例，能够帮助学生判断错误的命题，在数学教学中有着不可忽视的作用。而且在学生理解、领会和深入研究数学知识时也是十分重要的。

二、中学数学教学中的典型反例

（一）、概念教学中的反例

    在学习数学概念的时候，大家都知道正例带给我们的是概括的正确的信息,而反例带给我们的却最有利于辨别的信息。

    例1.在学习圆的概念时, 老师给出许多圆的图形来引入圆的概念,让学生清楚地、直观地认识圆, 并通过语言描述圆的本质特征来概括它的概念。从这个例子中大家可以看到正例的引入可以直接描述事物的特征,明确地掌握概念的内容。但是任何东西过了就会造成副作用，如果正例呈现的次数过多会造成时间上的浪费。