2.1数形结合思想的概述

所谓数形结合，就是通过数与形之间的相互转化、渗透来解决具体数学问题的思想。数形结合思想主要在解决集合、函数、方程、不等式、线性规划、数列、解析几何、立体几何、向量等问题上有广泛的应用。如在求解不等式的取值范围或求两个或以上的集合交并集时需要建立实数与数轴上的点之间的一一对应关系；在解有关函数包括基本函数和三角函数时可以建立函数与图象的对应关系，在坐标轴上画出相应的函数图像，从而使函数的有关特征更加的直观化；在求解有关曲线如椭圆、双曲线的题时可以建立曲线与方程的对应关系；当题目中出现的等式或代数式的结构有明显的几何意义时，我们也可以运用数形结合思想来解决。

2.2数形结合思想在高中数学中的应用

近年来随着新课程标准的改革，高考越来越注重于对数学思想方法的考查。纵观近年来的一些数学高考试题，其中有大量得到题可以运用数形结合的方法，不仅可以节约在考试时的解题时间而且能使题目简化，提高正确率，可起到事半功倍的效果。如在求函数的定义域、值域、最大值最小值时，在求复数和向量的有关题型时，在解复杂函数时，如果我们有效合理地运用数形结思想，不仅简化算理，避免大量复杂的推理过程。尤其在解决一些可以运用数形结合的选择题、填空题时更能凸显出其优越性，大大减少了我们的解题时间。数形结合中“数”与“形”的相互结合，转化，使代数问题几何化、几何问题代数化，达到有效统一的境界，使抽象思维和形象思维在一定的时间空间内有机结合转化。因此数形结合的思想方法成为了高中数学教学内容的重点，其中数形结合的重点是研究“以形助数”。在解题中主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。

2.2.1数形结合在集合中的应用

在有关集合的运算中常常把及几个集合中的运算结果借助于数轴、Venn图来表示，再来具体求他们的交集、并集或补集等运算，使冗杂的问题得以简单化。

例1 已知集合A=｛x|x2-2x-3≥0｝，B={x|-2≤x<2}，则A∩B=

      A.[-2,-1]     B.[-1,2)     C.[-1,1]    D.[1,2)

分析：本题考查集合的交集运算与一元二次不等式的解法，意在考查学生的运算求解能力、数形结合能力。要想解此题，首先需求得集合A的解集，再运用数轴求得

A∩B的解集。     通过计算可得A=｛x| x≥3或x≤-1｝, B={x|-2≤x<2}，把集合A,B的取值在数轴上表示出来如（图1）

从而求得A∩B=[-2,-1]

    例2某校高二年级参加市级数学竞赛，已知共有40个学生参加第二试（第二试共3道题），参赛情况如下：

① 40个学生每人都至少解出一道题

② 在没有解出第一道题的学生中，解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍

③ 仅解出第一道题的人数比余下的学生中解出第一道题的人数多1个

④ 仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题

试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？

（2）解出第一道题的学生有几个？

分析：本题数量关系错综复杂，让人无从下手，但我们若把“解出第一道题”、“解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩图直观求解。

解： 集合A={解出第一道题的学生数}， B={解出第二道题的学生数}， C={解出第三道题的学生数}