摘要本文在研究一元二次方程发展历史的基础上，详细阐述了当代中学数学教材中有关一元二次方程的部分，其中包括了一元二次方程的定义、解法与应用等，同时探讨了一元二次方程各种解法所蕴含的数学思想，并且探讨了一元二次方程与二次函数的联系。此外，基于含参数的一元二次方程的现实性，本文还详细论述了含参数的一元二次方程根的一些性质，以及一元二次方程参数范围的图像解法等。47686

毕业论文关键词：一元二次方程；解法；应用；数学思想； 

Abstract

In this paper, the history of quadratic equation with one unknown is introduced in detail. Based on the solution, the application and the mathematical thoughts, the passage will show the quadratic equation with one unknown in the high school textbook. Also, the relationship between the quadratic equation with one unknown and the quadratic function has been discussed. Besides, the passage also discuss the parameters and the roots of the quadratic equation with one unknown, as well as the image-solution of it.

Keyword: quadratic equation with one unknown; solution; application; mathematical thoughts;

目    录

1.引言 4

1.1一元二次方程概述 4

1.2一元二次方程的历史 4

2.中学教材中一元二次方程的主要内容 4

2.1一元二次方程定义 4

2.2一元二次方程的一般形式 4

2.3一元二次方程的解法..........5

2.4一元二次方程解法中的数学思想..7

2.5一元二次方程的应用..8

3.一元二次方程与函数的关系...10

4.含参数的一元二次方程...10

  4.1含参数的一元二次方程根的性质10

  4.2一元二次方程参数范围的图像解法13

参考文献..14

致谢..15

1.引言

1.1一元二次方程概述

方程是刻画现实世界中相等关系的模型，方程本身就提供了一种重要的数学思想，这一点在一元二次方程中体现的更为充分。它既有理论研究意义，又有实际应用价值。对一元二次方程的研究既得力于其他数学分支的支持，又能够为其他更为复杂的方程的进一步学习服务。而且从更广泛的意义上讲，通过方程可以沟通已知与未知之间的联系，从而由解方程就可以使问题得以解决，通常称之为方程思想。方程思想作为一种数学思想，在数学发展史上有重要作用，对求解数学问题也有着重要的意义。

而作为方程的重要分支之一，要定义一元二次方程，肯定要联系方程的概念。在国内的教材中，对方程的定义都是“含有未知数的等式”。所以我们可以看出，方程的概念是基于“等式”的。而对于等式的定义则可以分为两种：

初中课本中对于等式的定义为“表示相等关系的式子”；而在《中国数学百科全书》中对等式的定义则为“用等号将两个解析式连接起来”。如果按形式对其分类的话，可分为恒等式、条件等式、矛盾等式等。

1.2一元二次方程的历史背景

人类对一元二次方程的研究由来已久，一元二次方程的发展初期最早可以追溯到公元前。早在古埃及和纸草文书中就涉及到了最简单的二次方程ax²=b。并且在公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。中国人在大约公元前480年已经使用配方法求得了二次方程的正根，古老的数学名著《九章算术》就有过一元二次方程的求解问题，中国数学家还在方程的研究中应用了内插法，但是没有提出通用的求解方法。古希腊的欧几里得在之后提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程，此外，古希腊的丢番图在解一元二次方程的过程中，只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。印度的婆罗摩笈多在公元628年出版的《婆罗摩修正体系》中得到了x²+px+q=0的一个求根公式。而11世纪阿拉伯的阿尔·花剌子模在他的《代数学》中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根的存在，但是仍未有虚根的认识。 他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文radix。其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax²=bx、ax²=cx、ax²+c=bx、ax²+bx=c、ax²=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。法国的韦达除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系，也就是非常著名的韦达定理。