为了书写的简便，本文中自变量用 表示；未知函数用 表示；常微分方程用 表示；二阶变系数齐次常微分方程用 表示；偏微分方程用 表示；线性常微分方程用 表示

1.1  常微分方程

  定义 ：自变量的个数只有一个的微分方程.

下面举几个例子看一下

例 1       .                                

例 2       .                                 

例1和例2就是 ,  表示未知函数,  表示自变量.

例 3       .                                  

例 4       .                                          

例3和例4就是我们所定义的 , 此处 表示未知函数, 表示自变量.

1.2   高阶微分方程

定义 ： 的最高阶导数，就称做 的阶数.

例1是二阶 , 而例3和例4是二阶 . 阶 : 

这里 是 的已知函数, 而且一定含有 ； 表示未知函数，  表示自变量. 

1.3  线性微分方程

    假设 左侧是 , 和 的一次有理整式,它称作 阶 .

一般的 阶 ：

这里 是 的未知函数.与 对立的方程就称作非 .

例如，方程:

是二阶非线性微分方程.    

1.4  齐次微分方程

我们讨论如下的 阶 1）

这里 及 都是区间 上的连续函数. 如果 , 则此方程变为:

通常称作 阶齐次 （或为“齐次 ”）.而称（1）为 阶非齐次 ，（或为“非齐次 ”）.

2.二阶变系数齐次常微分方程的求解方法

2.1常系数化法

大多数变系数 都可以用幂级数这一方法来求解，但是我们知道，这样得到的解常常是一个无穷级数，对于研究和解决其它问题极不方便. 而对于常系数齐次 我们是容易求解的.因此，我们想能否可以将 化为我们容易求解的常系数 来求解呢？

2.1.1  保线性变换

    在常微分方程中，如果对一个方程进行变换而保证它的线性性质没有改变，那我们就称这样的变换是保线性变换.线性变换虽然在形式上有很多种，但都大同小异，没有本质的区别.