摘要在数学的学习中，我们常常能用到正交变换这样的一种变换。它在几何、代数和积分等方面有着很多的应用。本文讨论了如何利用正交变换的一些性质方便快速地解决问题。正交变换就是欧氏空间中保持向量内积不变的线性变换。线性变换和欧氏空间的内积都具有线性的性质。怎样借助内积的线性与正定性来推断欧氏空间的变换也具有线性。怎样巧妙地利用内积、长度、距离、夹角、正交等给出欧氏空间中的变换为正交变换的充要条件呢？这便是值得探究的问题。本文就怎样利用正交变换巧妙地理清问题思路，简化解题步骤进行了研究，例如化二次型为标准型这样的高等代数中的问题。本文还研究了在二维或三维一直到维空间中的一些重要的几何性质，以及利用正交变换转换坐标系来简化问题等等。86126

毕业论文关键词：对角化；欧氏空间；二次型；特征矩阵；

Abstract In the course of learning algebra, we often encounter orthogonal transformation。It has many important application on geomety, algebra and integral。 In this paper, some problems of orthogonal transformation are discussed and studied。 The orthogonal transformation is a linear transformation that could keep the inner product unchanged。 Linear transformation and the inner product of Euclidean space both have linear property。 How to get the sufficient and necessary condition for the Euclidean space transformation is orthogonal transformation by using inner product, length, distance  angle, orthogonal。 It is a question that is worth exploring。In this paper, how to make use of orthogonal transformation skillfully to solve the problem of clearing the way and simplified step is studied。For example, changing quadratic form into standard form。which is in advanced algebra。This paper also studied some important geometric properties in a 2D and 3D until infinite-dimensional space, and simplify the problem by using the orthogonal transformation to transform coordinate system。

Keywords:conic surface;euclidean space；diagonalization;feature matrix

目  录

第一章 绪论--1

1。1 研究背景--1

1。1 本文的主要内容1

第二章 正交变换的定义及判别 -2

2。1 定义--2

2。2判别--2

第三章 正交变换在对角化、二次型上的应用 6

3。1 正交变换与对角化--6

3。1。1 矩阵可对角化--6

3。1。2 矩阵可对角化的判定6

3。2 正交变换与二次型-10

3。2。1 对角化与二次型---10

3。2。2 相关定理-11

第四章 正交变换的几何意义和一些特殊性质及其应用-14

4。1 正交变换的几何意义---14

4。2 正交变换的某些性质和应用-15

4。2。1 用正交变换判断二次曲面的形状-15

4。2。2 用正交变换简化多元函数积分计算---18

总结--22

致谢--23

参考文献-24

第一章绪论

1。1 研究背景

随着现代数学的发展，不同学科之间的相互渗透也越来越明显。将代数与数学分析相结合，成了许多问题的解决方法之一。当遇到一个很难解决的实际问题时，我们往往可以构造这个问题的数学模型，将这个问题转化为一个更容易解决的数学问题。这样，我们能轻易地解决很多实际生活中看似很困难的问题。这个过程就叫化归型数学建模。要利用化归型数学建模，首先要找到一个映射，这个映射能合适的将两个问题进行转化。而很多应用中，正交变换就是这个合适的映射。论文网

1。2 本文的主要内容

我们已经学习了很多数学变换，例如正交变换仿射变换、仿射变换等等。这些变换在许多数学学科中有着非常广泛的应用。而正交变换在高等代数、数学分析等学科中都有着很重要的作用。