反证法对大家来说并不陌生，它是一种最常见的证明方法．成语故事：“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法．

运用反证法的关键在于归谬，归谬法属于反证法．美国著名数学家、教育家波利亚对这种证法作了很风趣的比喻：“归谬法是利用导出一个明显的谬误来证明假设不成立．归谬法是个数学过程，但它和讽刺家所爱好的做法——反话，都有几分相似．反话，很明显地采纳某个见解，但强调它并且过分强调它，直到产生一个明显的谬误．”

3 反证法的依据

    反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”．

    在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，

这就是逻辑思维中的“排中律”．

    反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假．再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真． 

反证法属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．

所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的．

根据数理逻辑的知识，我们把反证法的逻辑原理证明如下：

其中命题A1,A2,…,Ak 为前提，命题B为结论．由上式可见，  与 是两个互相矛盾的判断．根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同时为真，必有一假．在 的假设下，通过规则的逻辑推理，出现了矛盾，故 假．又根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真，所以 为真，即原命题成立．

下面的五个逻辑等值式更简明地表达了反证法在实际证明中所采用的集中形式．

第一种形式是通过证明原命题的逆否命题来证明原命题；第二种形式是把结论的否定作为前提，与已知条件一起，推出与已知条件相矛盾的结果；第三种形式是把结论的否定作为前提，与已知条件一起，推出互相矛盾的两个命题，其中包括公理、定理、已知真命题相矛盾的情形；第四种形式是把结论的否定作为前提条件，与已知条件一起，推出结论，这样与假设结论的否定自相矛盾；第五种形式是把结论的否定与命题中的部分条件一起，推出与前提中另一部分条件相矛盾的命题．源^自·优尔·文.论,文'网]www.youerw.com

反证法的这五种形式都可以用一句话概括：“否定结论，推出矛盾”．那种认为反证法是“证逆否命题”的观点是不全面的，因为通过证明逆否命题来证明原命题的方法仅是反证法的一种形式（形式1）．反证法的关键在于推出矛盾，其实在一开始作假设时就已经蕴涵有矛盾了，只是不那么明显，而整个推理过程就是把不明显的矛盾推至明显的矛盾的过程．在我们的证明实践中，反证法常用来证明起始性的命题、结论是否定形式的命题、存在性的命题、唯一性的命题、与无限有关的命题、任意性的命题、已知条件较少或条件与结论之间没有直接关系的命题等等．

4 反证法的种类