摘 要：本文研究了矩阵可交换的一些性质和条件，并且给出了几类特殊的可交换矩阵.

毕业论文关键词：可交换矩阵，阶，对称矩阵，逆矩阵

Abstract：In this paper we study some properties and conditions of exchangeable matrices, and introduce several kinds of special exchangeable matrices. 

Key words: exchangeable matrix, order, symmetric matrix, inverse matrix53042

 目 录

1引言4

2 可交换矩阵的定义及性质4

3 矩阵相乘可交换的条件8

3.1矩阵相乘可交换的充分条件8

3.2矩阵相乘可交换的充要条件 10

3.3 几类常见的可交换矩阵 11

4 可交换矩阵的应用11

结论15

参考文献16

致谢 17

1.引言

矩阵是贯穿高等代数的核心，本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究和探究，归纳总结了可交换矩阵的一些条件和性质，及其在代数解题中的一些应用，并对此进行了举例论证.

2. 可交换矩阵的定义及性质

定义2.1  如果两个矩阵 与 满足 ,则称矩阵 与 是可交换的.

当然，矩阵相乘不满足交换律时，原因可能有以下几种 

1) 与 都有意义，但是阶数不一定相等.

例如   , ，有其中 是 阶的，而 是 阶的，所以 ,因而 不可交换.

2） 是有意义的，但 不一定有意义.如

而 是没有意义的,所以  不可交换.

3） 和 都有意义，并且它们的阶数也相等时，仍然有可能出现 .

例如  ,则此时， 和 都是 阶的，但是 . 故 不可交换.

性质2.1 如果 可交换，则 .

分析 利用 可交换的定义证明.

证明 因为源-自-优尔:,论'文'网]www.youerw.com

另外 可交换，即 ，

所以性质2.2 若 可交换，则 .

证明 因为 ,

又因为 可交换, 即性质2.3 若 可交换，则 , .

证明 因为 可交换,所以 .性质2.4 若 可交换，则 ，其中 是 的多项式，即 与 的多项式可交换.

证明 因为 与 的任意多项式 与 相乘的结果展开的每一项都是 与 的形式，其中， 皆为正整数.所以要证明这个命题，只要证 与 可交换. 

由性质2.3可得,若 可交换， 与 可交换.从而可以证明得到 与 的多项式可交换.

性质2.5 若 与 可交换，而且 是可逆的，则 , 也可交换.

分析 要想证明 , 也可交换，就要得出 .已经得知了 是可逆的， 并且 与 可交换，所以尝试以下证明.

证明 因为 可交换, 所以 .又因为 可逆，所以 存在.

所以故 , 可交换.

性质2.6 如果 与 可交换，且 是正交矩阵，则 , 也可交换.

分析 该证明可以参照性质2.5的方法得出证明.

证明.因为 可以交换,所以 ,又因为 是正交矩阵,

所以故 , 可交换.

性质2.7形如 ,其中 的二阶上三角矩阵的交换矩阵仍是二阶上三角阵 且 ，其中，  ,  为任意实数，则 可交换． 

证明 由已知可得      又因为 ， ，所以 . 故 可交换 .   

性质2.8 若 与 可交换,则证明 由数学归纳法得