摘 要：本文讨论了分块矩阵在计算和证明两大方面的一些应用，通过实例说明对矩阵进行适当分块可以使许多计算与证明问题简单化.

毕业论文关键词：分块矩阵，矩阵的秩，线性相关性，特征值，逆矩阵53049

Abstract：In this paper, we discuss some applications about block matrices in calculations and proofs. With some examples we can make many questions of calculation and certification simplistic by chunking matrix appropriately.

Keywords：block matrix, rank of a matrix, linear correlation, eigenvalue, inverse matrix

目   录

1  引言 4

2  分块矩阵及其性质 4

2.1  分块矩阵 4

2.1.1  分块矩阵的概念 4

2.1.2  分块矩阵的运算 4

2.2  分块矩阵的性质及其推论 5

3  分块矩阵在证明方面的应用 8

3.1  分块矩阵在矩阵秩的证明中的应用 8

3.1.1  利用分块矩阵证明矩阵乘积的秩 8

3.1.2  利用分块矩阵证明矩阵秩的等式 8

3.1.3  利用分块矩阵证明矩阵秩的不等式 9

3.2  分块矩阵在线性相关性问题中的应用 10

3.3  分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用 12

4  分块矩阵在计算方面的应用 13

4.1  利用分块矩阵求逆矩阵 13

4.2  利用分块矩阵求高阶行列式 15

结论 18

参考文献 19

致  谢 20 

1  引言

矩阵是常见的数学工具之一，具有非常重要的实用价值.在矩阵的计算或证明问题中，如果题目中所给矩阵的阶数较高，在解题过程中我们难免会觉得繁琐.这时，我们可以考虑将矩阵分成若干个子块，并且把这些子块当作元素来处理.这样，高阶矩阵或结构特殊的矩阵便可转化为低阶矩阵.

分块矩阵的应用非常广泛.本文首先总结了分块矩阵的概念、运算法则，并根据行列式的性质推广得到分块矩阵的性质，然后在此基础上分别列举了一些证明和计算的例子，由此说明对矩阵进行适当的分块可以极大地提高解题效率.

2  分块矩阵及其性质源-自-优尔:,论'文'网]www.youerw.com

2.1  分块矩阵 

2.1.1  分块矩阵的概念

将大矩阵 用若干条纵线和横线分割成多个小矩阵，即 ,

其中每个小矩阵  叫做矩阵 的一个子块；以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

2.1.2  分块矩阵的运算

1)加法  设分块矩阵 , ,那么 ,其中 与 的行、列一致，即 与 有相同的分块；                   

2)数乘  设分块矩阵 , ,则 ；                                                 

3)乘法   , ,则 ,其中 , 的列数等于 的行数，即 的列分块与 的行分块一致；