摘 要：矩阵是高等代数的主要研究对象，矩阵的积分解与和分解是研究矩阵的一个常用手段，本文讨论了实矩阵与正交矩阵有关的一些积分解形式，在此基础上讨论了原矩阵的与秩、行列式、特征值等数值特征有关的性质。

毕业论文关键词： 正交矩阵，积分解，QR分解53699

 Abstract：Matrix is the main research object of higher algebra. The product decomposition and sum decomposition are common means to study Matrix. In this paper we discuss some product decompositions concerning the real matrix and the orthogonal matrix. On the basis, we also discuss some characteristics concerning ranks, determinants and eigenvalues of original matrix.

Keywords：Orthogonal matrix, integral solution, QR decomposition

目   录                                                  

1 引言 4

2 预备知识 4

2.1 与正交矩阵有关的概念 4

2.2 正交矩阵的性质 4 

2.3 正交矩阵的特征值  5

3  矩阵的 分解  6

3.1矩阵的 分解基本概念与结论7

3.2与矩阵的QR分解相关的两个结论8

3.3矩阵的QR分解的常用方法9

  4 与正交矩阵有关的其它积分解结论12 

  结论  17

参考文献 18

1 引言 

    矩阵是数学研究中一类重要的工具之一, 有着非常广泛的应用.在线性方程组的讨论中，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的.表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的，这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.

矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的.矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等. 另一方面, 构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据.

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，在总结正交矩阵的主要性质的基础上，系统全面地给出与正交矩阵有关的矩阵积分解结果.

在本文中如未作其它说明， 表示以 为 ； 和 ； 表示方阵 的 次方幂； 和 均表示矩阵 的转置； 表示矩阵 的逆矩阵；A表示欧氏空间 的一个线性变换.

2 预备知识

2.1 与正交矩阵有关的概念

    作为本文的需要，先给出本文要用到的一些概念.

定义1   阶实数矩阵 称为正交矩阵，如果 .

不难证明，下列条件是等价的．

(1)  是正交矩阵，    (2)  ，(3)  ，

(4)  的 个行向量是两两正交的单位向量，

(5)  的 个列向量是两两正交的单位向量.

    定义2  设 为矩阵，若 ，则称 为对称矩阵.