即每步要解一个 阶线性方程组.

按照上述线性化法取得的迭代法通常形式为

             （2-13）

为保证 近似于方程组（2-1 ）的解 ，应要求 与 近似.基于不同的考虑，适当选取 就得到牛顿法的各种变型，这类方法称为牛顿型迭代法.

求非线性方程组的数值解的方法有非常多种，随着数学科技的发展，以及长期的研究，形成了更多非线性方程组数值解法，可是作为经典数值解法的牛顿法等还是拥有重要地位，现如今很多迭代法都是以牛顿法为根本，下面对几种非线性方程组的数值解法进行分析以及提出相应的改进.

2.1.2 三种牛顿法的比较

2.1.2.1 传统牛顿法

由2.1.1节中知牛顿法的迭代公式为：

迭代一次解一次如下方程组： 

此为线性方程组，故能以高斯消去法获取解.以以下条件：

为此方法停止的标准，其中 为给出的精度标准，亦能以给出的最大迭代次数 为停止迭代标准.

对非线性方程组（2-1）记 

用此方法解 的步骤：

输入[12]：方程组的阶数 ，最大迭代次数 ，迭代第一个值 误差 .

输出：近似解 或 的消息.

1）如果已经完成 次迭代，同时获得了 ;

2）运算 

3）对 阶线性方程组进行高斯消去求解： ；

4）求 ；

5）求解 ；

6）若 ，则转8），否则转7）；

7）若 并且转2），否则转8）；

8）输出数值解或者输出 的消息；

9）终止迭代.

2.1.2.2 简化牛顿法

    相对于其它方法虽然牛顿法拥有高收敛速度，但是每进行一次迭代时，需要求解 个函数的值 ，以及 个导数值 构成的矩阵：jacobi矩阵 ，且需要计算 的逆矩阵以及求一个线性方程组的解，计算数量大，就算是运用一些数学软件也是费事的.所以在这个方向上，可以做一些改动，在上述的牛顿法中改动，如对一切 ,取 ，则迭代公式应该为：

式(2-15)即为简化的牛顿法，此方法虽然减少了计算量，反而导致求得最终结果的速度变慢了.

    简化了的牛顿法与牛顿法的不同点不多，只在于仅由预知的初始近似值来计算 ，得到的值后期迭代时只引用不再计算，保持所得初始计算所得值.解非线性方程组 的简化牛顿算法如下：

输入：方程组的阶数 最大迭代次数 ;迭代初值 误差 .

输出：近似解 或或 的消息.

1）假设已经经过k次迭代，且求出了 ;

2）计算 ；

3）运用高斯消去法解 阶线性方程组： ；

4）求 ；

5）求解 ；

6）若 ，则转8），否则转7）；

7）若 并且转3），否则转8）；

8）输出数值解或者输出输出 的消息；

9）终止迭代.

2.1.2.3 修正牛顿法

    分析以上两者，其利弊自现，各有优有劣，而若能取长补短，效益倍增，故可以使牛顿法的快速收敛与简化牛顿法的计算量少有效结合，即在算法中改进，如将m步简化后的牛顿法的步骤与牛顿法的步骤合并成一次牛顿步