当 不与 轴垂直时,又因为 两点在双曲线上,所以 , ,

两式相减得代入上式,化简得

当 与 轴垂直时, ,求得 ,也满足上述方程．

所以点 的轨迹方程是 ．

在利用“直接法”求解动点轨迹方程时应注意两点：一是在建立坐标系时应当充分地考虑问题中的垂直与对称性,以便减少运算量；二是要考虑方程化简前后的同解性、必要性,应该舍去增解补回失解 .

2.2  用待定系数法求解动点轨迹方程

这种方法适用于动点的运动轨迹曲线已知或者可以直接利用已知条件推断出它的轨迹的曲线方程.其一般解题步骤为：先假设出对应类型的轨迹方程,再求出所假设方程中的待定系数 .

例2  如图2, 直线 和直线 相交于点 ,且 , 点 . 以 ,  为端点的曲线段 上的任一点到 的距离与到点 的距离相等. 若 为锐角三角形,  ,  , 且 . 建立适当的坐标系,求曲线段 的方程.