正定矩阵与矩阵的奇异值分解(2)
定义2 实对称矩阵 称为正定的，如果二次型 正定.
引理1 元实二次型 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于 .
引理2 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.
引理3 设 是 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 使得 ，
其中 的特征值.
引理 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵 和上三角矩阵 的乘积 其中 的主对角元均为正
2.2 正定矩阵的判别
定理 实对称矩阵 为正定矩阵的充要条件是对于任意的 文非零列向量 ,即 ，使 .
证明 由定义1和定义2可证
定理 实对称矩阵 为正定矩阵的充要条件是 的一切顺序主子式大于0.证明 必要性： 因为 是实对称正定矩阵，由定义2知，存在二次型
上一篇：复数辐角及其应用+文献综述
下一篇：浅析数学竞赛中的有关图论问题