摘要: Henon映射作为一个二维离散映射，是高维离散映射中最简单的非线性映射，其动力学行为具有代表性，而Lyapunov指数是衡量系统动力学行为的一个重要定量指标，对于系统是否存在混沌吸引子，可以通过Lyapunov指数来判断。为了揭示Henon映射混沌产生的机制，有必要研究其Lyapunov指数的计算方法。本文通过对二维Poincaré映射Jacobian矩阵的QR分解，研究Henon映射的Lyapunov指数计算方法，并编写了相关程序并通过实例验证了本文采取的计算方法的正确性。63125

毕业论文关键词: Henon映射，李雅普诺夫指数，周期轨道，混沌轨道

Abstract: Henon mapping, as a two-dimensional discrete-time mapping, is the simplest nonlinear mapping in the high-dimension discrete mapping. The dynamic behavior of which is representative. Since Lyapunov exponent is an important quantitative indicator for the dynamical behaviors of the system. Whether the system presents chaotic behavior can be determined by Lyapunov exponent. It is necessary to study the numerical method of Lyapunov exponent for revealling the chaotic mechanism of Henon mapping. In this paper, based on the QR decomposition of the Jacobian matrix of the two-dimensional Poincaré mapping, the numerical method of the Lyapunov exponent for Henon mapping is obtained. Meanwhile, the associated programs are compiled and the correctness of the numerical method is verified.

Key words: Henon mapping, Lyapunov exponent, periodic orbit, chaotic orbit

目录

1. 引言 4

2.预备知识 5

2.1离散动力系统的一些定义 5

2.2 离散系统Lyapunov指数的定义 6

3. Henon映射Lyapunov指数求解方法及实现 7

3.1 Lyapunov指数求解方法 7

3.2 Lyapunov指数Fortran程序实现 7

4. 仿真实现与验证 12

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1. 引言

     Lyapunov指数是判断和描述非线性动力系统特征的一个重要指标之一[1]，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于混沌系统来说，一方面其轨道最终要收缩到相空间中某种类型的吸引子上；另一方面系统在相体积收缩的同时，运动轨道又是不稳定的，要沿某些方向进行指数分离[2]。混沌吸引子的不稳定的运动轨道在局部看来总是指数分离的，为了有效刻画混沌吸引子，有必要研究动力系统的各种吸引子在无穷长轨道上平均后的特征量，如Lyapunov指数[3]、分维数[4]和Kolmogorov熵[5]等。混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，即两个极为靠近的初始值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离。

目前，国内学者对Lyapunov指数的计算方法做了很多的研究，Yan Wen[6]采用定义法求解了一维离散系统的Lyapunov指数；Liao[7]利用wolf方法计算了Lorenz、Duffing等混沌系统的Lyapunov指数；Wang[8]提出了小数据量法计算系统为一时间序列时的Lyapunov指数。对于不同的动力系统，所采取的计算方法不同，求解的精度、复杂度以及抗干扰能力存在差异，因此对某一具体的动力系统，有必要讨论适合其计算Lyapuno指数方法。

Henon映射是具有两个参数的平面映射族，作为一个二维映射，是高维映射中最简单的非线性映射，其数学表达式为：

 它只有一个非线性项，因此Henon映射是高维情形最简单的非线性映射，研究其Lyapunove指数计算方法具有一定的代表性。本文以Henon映射为例讨论离散动力系统的Lyapunov指数的计算方法，并编写了相关程序，同时结合Henon映射相轨道验证了所采取的方法以及编写程序的正确性。