2.预备知识

2.1离散动力系统的一些定义

现考虑离散——时间动力系统：  （2.1）

其中 为一个非线性函数， 代表一个或多个变量。固定参量 之后，取一个初值 代入（2.1）式右面，算出 ；再把 作为新的变量，计算 ； 如此不断迭代下去：

得出一条轨道：                   （2.3）

我们主要关心轨道（2.3）的长时间行为，即迭代次数 超过某个足够大的 以后，极限集合 表现出那些恒稳定行为。

先排除 最终逃逸掉的情形。我们可以设想几种可能性。

1.从某次迭代开始，所有的 都不再变化

  称为迭代（2.1）的不动点。

2.从某次迭代开始， 进入有限个数字周而复始、无限重复的状态。例如，当 之后

完全相同。这称为周期p轨道。不动点是p=1的特例，有时就叫做周期1轨道。

3.轨道点 永不重复，永不进入任何周期状态。盯住一个 ，每迭代一定次数，轨道点就回到 附近来；如果要求轨道点更靠近 ，就必须迭代更多次。然而，任何轨道点都不准确重复 的数值。这种情形为准周期轨道。准周期轨道可以用足够长的周期轨道来足够好的逼近。

4.与以上三类不同，所有轨道点随机地取值，看不出任何规律性；取出轨道中任意长的一段，都像是一批在一定范围内随机分布的数字，当然，偶尔会遇到某个轨道点其数值很靠近先前有过的一点，但又不准确相同，这种靠近事件的出现间隔也无规律可循，这是一条随机轨道；还有一种可能的行为是：轨道点像是随机地取值，但取出有限长的一段轨道点进行精度有限的观察时，又会发现其中有某些近似的重复图式或“结构”，如果把这些近似的重复图式作为考察的单位，则它们在整个轨道中的出现方式又是随机的。这是一种混沌轨道。混沌轨道同任意长周期轨道都有充分大的偏离。

2.2 离散系统Lyapunov指数的定义

当相空间中的相邻轨道 和 随着时间推移时，其相应的轨迹按

规律相互吸引或离开，这种相互吸引或离开的平均变化率即为Lyapunov指数。对于 维相空间的离散动力系统（2.1），其Lyapunov指数通常定义为