2.1.2 函数的三要素

函数的三要素包括定义域、对应法则和值域。函数的三要素决定了函数的异同,当三要素之中已知两个条件时,我们可以求出第三个。

A. 函数定义域的求法

(1)当函数是以解析式的形式给出时,其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 

例1(13 银川质检) 求函数 的定义域

解析:要使函数有意义,则 ,即 ,解之得 

评注:结合实际条件,我们可以知道函数有意义的条件在于分子有意义且分母不为0,因此这里只要满足这两个条件,则函数的定义域由此可得。

(2)当函数为复合函数时,其定义域要同时满足全部条件文献综述

   a. 若已知函数 的定义域为 ,则复合函数 的定义域由 求出。

   b. 若已知函数 的定义域为 ,则 的定义域为 在 时的值域。

例2(12 银川质检) 已知函数 的定义域为 ,则 的定义域为_______

解析:函数 的定义域为 ,因此自变量 的取值范围是 。令 ,则 的取值范围是 ,从而 的定义域为 ,故 的定义域为 

评注:这是一个简单的复合函数,搞清楚自变量后就可以通过整体代入的思想解决函数 定义域的问题。

B. 函数值域的求法

(1)观察法

例3[5] 求函数 的值域

解析:求函数 的值域时,由 及 ,知 ,故所求的值域为 。

评注:结合解析式成立的条件,首先我们可以根据解析式求出函数的定义域。在此基础上,利用定义域很快地就可以得到值域,从而得出函数的值域。

(2)中间变量法

例4[5] 求函数 的值域

解析:求函数 的值域时,由 得 ,而 ,所以 ,所以 ,故所求的值域为 。

评注:在这里求值域时,可将 作为中间变量,由于 的取值范围是已知的,所以将其用 表示出来后的新的形式的范围也是已知的。根据此不等式可迅速求出 的取值范围,也就是原函数的值域。

(3)配方法

例5[5] 求函数 的值域

解析:求函数 的值域时,因 ,故所求的值域为 。

评注:此题中将二次函数的一般形式通过拆分后配凑出二次函数的顶点式,故而可以直接从顶点式中看出原函数的值域。

(4)图像法源:自~优尔·论`文'网·www.youerw.com/

先作出函数的图像,再由直观的图像得到其值域。

(5)换元法

用换元法求函数值域时,要注意的是换元后辅助元的取值范围,利用它和相关知识便可求其值域。

(6)判别式法

将函数的解析式转化为关于 (或某个代数式)的一元二次方程,利用一元二次方程有实根的充要条件,即判别式 ,得到关于 的不等式,解之便能求出其值域。

(7)不等式法

例6[5] 求函数 的值域

解析:求函数 的值域时,因为 ,所以 , ,又因为 ,所以 ,故所求的值域为 。

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