完备性和Banach空间

设 是赋范线性空间， 的点列 称为基本列或者Cauchy列，是指对于任何正实数 ，存在自然数 ，使得当 时，有 。如果 中的每一个基本点列都收敛，即对于任何基本列 ，总有 ，使得 ，那么 就称为有完备性。而完备的赋范线性空间就称为Banach空间。

定理3.1（Hahn-Banach定理） 设 是赋范线性空间， 为其子空间， 为定义在 上的连续线性泛函，那么存在 上的连续线性泛函 ，使得对于任何 ，有 

推论1 设 是赋范线性空间， 为任意非零元素，那么存在 ，使得

推论2 设 是赋范线性空间， 为任意非零元素，那么

Hilbert空间定义

一般的无限维内积空间 ，如果其上的内积用 来定义，那么根据对称正线性函数的定义，它对于任何 和 满足下列条件：

（1）双线性性： ， ；源.自/优尔·论\文'网·www.youerw.com/

（2）对称性： ；

（3）正定性：对于 ， 

如果这时对于任何 ，定义

 ，

容易验证它是 上的范数，从而 为赋范线性空间。完备的内积空间当然是Banach空间，而这样的Banach空间就称为Hilbert空间。