1.1矩阵特征值的相关概念：[9]

    在有限维的线性空间中取一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示。为了利用矩阵来研究线性变换，对每个给定的线性变换，希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。为了达到在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成何种简单的形式，这里引入了特征值和特征向量的概念。

定义：设 是数域 上n维线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中一数 ，存在一个非零向量 ，使得 

则 称为 的一个特征值， 称为 的属于特征值 的一个特征向量。

当数域P为是实数域时，从几何上看，特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上，这时或者方向不变（当 ），或者方向相反（当 ），至于 时，特征向量就被线性变换变成0.

当数域P为复数域时，从几何上看，特征向量的方向经过变换后，不仅有在原方向上的拉伸，还包含着方向的旋转变换。

从 式可以推出 ,这表明了如果 是线性变换 的属于特征值 的特征向量，那么 的任何一个非零倍数k 也是 的属于 的特征向量。这说明特征向量并不是被特征值所唯一决定的。

    我们补充一下几何重数和代数重数的概念，几何重数和代数重数都是针对矩阵某个特征值来说的：一个矩阵的某特征值的几何重数——该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关联的Jordan块的个数；一个矩阵的某特征值的代数重数——该矩阵Jordan标准型中与该特征值相关的所有Jordan块的阶数之和。

    例:如下矩阵特征根 8 的几何重数为3,代数重数为6

 。

了解以上的概念之后，现在来给出寻找特征值和特征向量的方法。设 是数域 上 维线性空间， ， ，…， 是它的一组基，线性变换 在这组基下的矩阵是 。设 是特征值，它的一个特征向量 在 ， ，…， 下的坐标是 ， ，…， 。则 的坐标是 .

 的坐标是 .因此 式相当于坐标之间的等式  或 。论文网

因此确定线性变换 的特征值与特征向量的方法分成以下几个步骤：

1.在线性空间 中取一组基 ， ，…， ，写出线性变换 在这组基下的矩阵 ；

2.求出 的特征多项式 在数域 中全部的根，它们也就是线性变换 的全部特征值；

3.把所求得的特征值代入方程组

 ，

对于每一个特征值解方程组 ，求出一组基础解系，这组基础解系就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基 ， ，…， 下的坐标，这样也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。

1.2矩阵特征值的性质[1]

（1）任一 阶方阵 必有 个复的特征值.

（2） 与它的转置矩阵 有相同的特征值.

（3）设 是线性空间 上的可逆变换，则① 的特征值一定不为0；

② 为 的逆矩阵 的特征值.

（4） 阶实对称矩阵 有 个实的特征值,有 个线性无关的特征向量.

证：反证法。假设矩阵A对应的n个特征值为 ，对应的特征向量为 。

假设 线性无关，那么存在最小的下标p，使得 是前面向量（这些向量线性无关）的线性组合，即存在数 ，使得 ，将此式两边乘以A，并将 代入，可得

结合上式可得 

因为 线性无关，因此（*）式的所有系数均为零，但是 全不为零，故 。推出 ，矛盾。故假设不成立，原命题正确。

（5）n阶正交矩阵 的特征值只能为 ，属于不同特征值的特征向量相互正交.

（6） 可逆，  为 的全部特征值，则① 为  全部特征值。② 为 的全部特征值.