逆向思维在高等数学中的应用(2)
1．预备知识
1.1 定积分的定义：
定义1 设闭区间 上有 个点，依次为
,
它们把 分成 个小区间 ， .这些分点或这些闭子
区间构成对 的一个分割，记为
或 .
小区间 的长度是 ，并记
，
称为分割 的模.
注 由于 , ，因此 可用来反映 被分割的
细密程度.另外，分割 一旦给出， 就随之而确定；但是，具有同一细度
的分割 却有无限多个.
1.2 (罗尔（Rolle）中值定理） 若函数 满足如下条件：
(ⅰ） 在闭区间 上连续；
(ⅱ) 在开区间（ ）上可导；
(ⅲ) = ，
则在（ ）上至少存在一点 ，使得 =0.
罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线.
1.3 数列极限的 定义
定义 设 为数列， 为定数.若对任给的正数 ，总存在正整数 ,使得 时有
则称数列 收敛于 称为数列 的极限，并记作
下面举例说明如何根据 定义来验证数列极限.
1.4 无穷小量的定义和定理
定义 设 在某 上有定义，若 .
则称 为当 时的无穷小量
定理3.12 设函数 在 上有定义，且有 .
(ⅰ)若 ,则 ；
（ⅱ）若 ，则 .
证 (ⅰ)
（ⅱ）
1.5 有理函数的不定积分
有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为
，
其中 为非负整数， 与 都是常数，且 .若 ，则称它为真分式；若 ，则称它为假分式.
2.逆向思文在定积分中的应用
2.1 例如，利用定积分的定义求极限：
设 (x)在 上连续，且f(x)>0，求
解：利用定积分的定义
2.2 逆用定积分的定义求极限
定积分是无限项和的极限：
逆向应用：无限项和的极限又可通过相应函数的定积分来计算．此方法是把求极限问题转化为某一函数在某一有限区间上的定积分． 此类题目的特点是:把无穷项和式的极限转化为某一函数 在区间 上的定积分，且把区间 等分， 中的 常取 的右端点 ，从而把无穷项和式的极限问题转化为求一个特定结构的和式极限.
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