矩阵的QR分解及程序设计(2)
定义 1.1.5 设实数 与 满足 称
为Givens矩阵,也可以记为 .建立 的变换 ,使 , 这样的变换称为Givens变换.容易验证,当 时,存在角度 使得
Givens矩阵矩阵的性质：
（1）Givens矩阵是正交矩阵,且具有
（2）设 ,则有
上式表明,当 时,选取 ,
就使 .
1.2 线性无关向量组的Gram-Schmidet正交化过程
设 是n文欧氏空间中 个线性无关的向量,Gram-Schmidt正交化过程就是求取一组单位向量 ,使得:
（1） 张成的空间等于 张成的空间,即 ;
（2） 两两正交,即内积
遵循上述条件,可得如下的Gram-Schmidt正交化过程：
（1）取 ,化为单位向量有 为 的向量范数.
（2）取 , 从 可知 ,
故 把 化为单位向量,有 （3）取 同理,从 ,
可知
,把 化为单位向量有 .
2.矩阵QR分解的常见方法及程序设计
2.1 利用Householder矩阵变换
2.1.1 QR分解的Householder方法
定理2.1 设 为非零列向量, 为单位列向量, 则存在Householder矩阵 ,使得 .
证明 当 时,取单位列向量 满足 ,则有
当 时,取 则有这里利用了等式 .
定理2.2 利用Householder变换证明任意 都可以进行 分解.
证明 将 进行列分块,即 ,易知,存在 阶Householder矩阵 ,使得 ,则
式中 .
再将 按列分块,即 .同理,有 阶Householder矩阵 ,使得 ,其中 .则有 阶Householder矩阵
,使得 式中 .
同理,继续上述步骤,则在第 步有
由于 皆为Householder矩阵,则有 ,其中 为正交矩阵, 为上三角矩阵．
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