曲线积分与积分路径无关性的应用
之相关的一系列利用曲线积分与路径无关性求微分方程中的未知函数的问题.9069
关键词:曲线积分;全微分;积分
Application Independence of
Curvilinearintegral and the Integration Path
Abstract: This paper introduces the four equivalent conditions plane curve path integral equivalent conditions unrelated to the four points of space curves and path independence, combined with examples of their application: calculated curve points, find the original function, seeking differential equations, find the equations of unknown function, especially in the case of unknown function required to solve a series of use associated with the path integral curves of differential equations seeking independence unknown function problems.
Key word: Curve Points; Fully Differential; Points
目 录
摘要. 1
引言 2
1.平面曲线积分与路径无关性的定理及证明 3
1.1利用平面曲线积分与路径无关性求原函数 6
1.2利用平面曲线积分与路径无关性求微分方程的解 7
1.3利用平面曲线积分与路径无关性计算曲线积分的值 9
1.4利用平面曲线积分与路径无关性求未知函数 11
2.空间曲线积分与路径的无关性定理及证明 12
2.1利用空间曲线积分与路径无关性求原函数 15
2.2利用空间曲线积分与路径无关性计算曲线积分 16
参考文献 18
致谢 19
曲线积分与积分路径无关性的应用
引言
我们在学习数学分析中的第二型曲线积分时,对于求解第二型曲线积分有很多方法,可以通过参数方程转化为定积分来计算,并且对于平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算,还有一个就是利用曲线与路径无关这个方法来计算.
文中所引用的参考文献[1]、[2]、[7]对曲线积分与路径无关性及其应用作了较为深入的研究；文献[4]、[5]则通过四个等价条件总结了几个方面的应用；但是，部分参考文献所做的工作并不完整，例如文献[4]虽然归纳总结了曲线积分与路径无关性四个方面的应用，但是它只是从平面曲线积分入手并没有对空间曲线积分与路径无关性的应用进行系统的归纳，也没有对这个定理进行证明.
本文在参考了大量文献的基础上，对平面与空间曲线积分与路径无关性的应用做了一个系统的归纳总结，并了解四个等价条件的关联性利用最简便的一个命题对我们遇到的所有曲线积分进行验证，从而找到一条最简单的路径求解.最后对一些典型例题总结出套用公式，使读者可以轻而易举的灵活应用.
1.平面曲线积分与路径无关性的定理及证明
从曲线积分定义我们知道,曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关,但也有特殊情形,如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关,与物体移动的路径无关；下面我们就介绍曲线积分与路径无关问题的定义及平面曲线积分与路径无关性成立的四个等价条件.
首先介绍单连通区域的概念.
若对于平面区域 上任一封闭曲线,皆可不经过 以外的点而连续收缩于属于 的某一点,则称此平面区域为单连通区域,否则称为复连通区域.
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