曲线积分与积分路径无关性的应用(2)
定义1.1（曲线积分与路径无关问题）设 是 平面上的一个开区域， 以及 在 内具有一阶连线 、 ,恒 ,则称曲线积分 在 内与路径无关.
定理 1.2 设 是单连通闭区域,函数 , 在区域 内连续,且有一阶连续偏导数, 则以下四个命题互相等价（即若其中一个命题成立,则其余三个命题也成立）：
（1）沿 内任一按段光滑的闭曲线 ,有
;
(2)对 内任一按段光滑的曲线 ,曲线积分 与路线无关,只与 的起点及终点有关；
是 内某一函数 的全微分,即在 内有 ；
(4)在 内处处成立
.
证明 i)若(1)成立,则(2)成立.
事实上,设 、 是 内任意两条光滑或逐段光滑的曲线,并且有相同的始点 和终点 （如图1）,则在 内必存在一条与 、 都不会相交,以 为始点 为终点的光滑或逐段光滑的曲线 .
于是,由 、 组成一条位于 内的光滑或逐段光滑的闭曲线 + ,根据命题可得
类似地,也可证得所以
即证明了(2)成立.
ii)若(2)成立,则(3)成立.
事实上,在 内任取一定点 ,对于 内的没一点 ,由于 具有连通性,所以必有一条位于 内的光滑或逐段光滑曲线 联结点 和 .根据(2)成立,可在 内用曲线积分定义一个二元函数
.
上式右端代表沿 内的一条始点为 ,终点为 的光滑或逐段光滑曲线 的曲线积分.
由于点 为 的内点,所以存在 ,使当 时,点 .又因 在 内有连续的偏导数,所以函数 在 内连续,且当 时,有
即证得函数 在 内存在关于 的连续偏导数
类似地,可以证得函数 在 内存在关于 的连续偏导数
因此,函数 在 内可微,且对 内任意一点 ,都有
即证明了(3)成立.
iii)若(3)成立,则(4)成立.
事实上,由于(3)成立,所以对于 内任意点 ,
都有 ,于是
, （当 ）
又因 、 在 内有连续偏导数,所以
即证得(3)成立.
iv)若(4)成立,则(1)成立.
事实上,由于(4)成立,则在 内
,
于是对于 内的任意一条光滑或逐段光滑闭曲线 所围成的闭区域 ,根据 为单连通区域且 、 在 都有连续的偏导数可知, 为单连通闭区域且 , 在 上也都有连续的偏导数,所以按格林公式得
即证得(1)成立.
综合i)-iv）,证明了定理1.1成立.
此定理的主要应用是在求第二型曲线积分中,若在单连通闭区域 内可以做到 ,则沿 内任一按段光滑的曲线 ,曲线积分 只与 的起点和终点有关, 从而可以选择合适的路线（一般是折线）.但是由于在定理的条件下,还等价于 是 内某一函数 的全微分,故此定理还可以运用于与全微分方程相关的一些微分方程的求解.现将定理1.1的应用总结如下.
1.1利用平面曲线积分与路径无关性求原函数
定义1.1.1 若函数 使 ,则称函数 是表达式 的一个原函数.
判别法1.1.2 设开区域 是一个单连通域,函数 以及 在 内具有一阶连续偏导数,则在 内 存在原函数的充分必要条件是
等式 在 内恒成立.
一般取 .
例1 求全微分 + 的原函数 .
故积分与路径无关,其原函数存在,取
1.2利用平面曲线积分与路径无关性求微分方程的解
定义1.2.1若存在二元函数 ,使得 ,
则称 为全微分方程或恰当方程.
此时,全微分方程的通解为 或
若 , 在单连通 内具有一阶连续偏导数,则方程 为全微分方程的充要条件是在 内恒有 .
上一篇：区间套定理及其应用+文献综述
下一篇：矩阵的QR分解及程序设计