2.中心极限定理

定理1 （林德贝格-勒维定理） 设 是一独立同分布随机变量且 存在。记 ，则对任意实数 ，有

它只假设独立同分布及方差存在，不管原来的分布是什么样的，极限分布同样都是正态分布，该定理一方面从理论上说明了正态分布的重要性，初步说明了为什么实际应用中会经常遇到正态分布；另一方面，它也提供了计算独立同分布随机变量和的分布的近似方法，这在应用中十分有效，只要和式中加项的个数充分多，就可以不必关心每一个随机变量原来是服从什么分布，都可以利用正态分布来逼近，因此，我们只要借助正态分布表，就可以进行近似计算。

    例1  计算机在做加法时，对每个加数进行四舍五入取整误差是相互独立的，且它们都在 内服从均匀分布。

（1）将1000个数相加，问误差总和的绝对值超过10的概率有多少？文献综述

（2）最多 个数相加，可使误差总和的绝对值小于10的概率为0.99？

解 设第 个加数的取整误差为 ， 由题设条件，诸个 相互独立且服从 上的均匀分布，即 

 （1）记 ，则由林德贝格-列维定理，有

  （2）记 ，则由林德贝格-列维定理，有

由 ，得出 ，查表得知 

定理2 (棣莫佛-拉普拉斯定理） 设 是 重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为 ，则对任意实数 ，有

这是林德贝格-勒维定理应用到伯努利试验的情形。我们要注意的到，伯努利试验中成功的次数服从二项分布，棣莫佛-拉普拉斯定理最初就是以正态分布逼近二项分布的形式为人们认识的，它是概率中最早建立的重要成果之一。我们以前章节中曾给出过用泊松分布逼近二项分布的定理。一般来说，在 较小的情况下用泊松分布近似比较有效， 较大时用正态分布作近似计算。

例2 在 中随机取数10000次，求数字8出现的次数不超过970次的概率。

 解 设

 ,   

则 即 

   设 

   由棣莫佛-拉普拉斯定理，有

     例3   某工厂装有500部电话分机，假定每个分机有4%的时间要用外线通话，且各个分机是否用外线是相互独立的，那求需要配备多少条外线才能有95%的把握保证各个分机要用外线时是不需要等待的？

解 设

 ,   

则 ，即 

       设 ，则 

假定需要配备N条外线能以95%的把握保证各个分机要用外线时不必等候，则

由棣莫佛-拉普拉斯定理，有

由题意知 

即 

因此需要配备 条外线。

3.中心极限定理应用来!自~优尔论-文|网www.youerw.com

3.1中心极限定理在经济管理方面的应用

   例4 众所周知，一个酒店经营的好坏与酒店的管理者所采取的决策息息相关，本例主要用中心极限定理来控制酒店中食物的采购数量、食物的质量，给决策者提供很好的理论支撑。

首先要确定食物的采购数量，某酒店分析以往的数据记录发现，有  个人经常性的来酒店点某一菜品 ，并且他们点该菜品的频率差别不大，在 附近波动。假设在某一时段内，这  个人是否点菜品A是相互独立的，并且该酒店做该道菜所用的原材料为 0.5千克，那么该酒店应该购买多少原材料才能有99％的把握来满足消费者的需求？