摘  要矩阵的等价标准形是矩阵理论研究中的一个重要的概念，利用矩阵的等价标准形来研究矩阵问题是矩阵研究中的最基本的思想方法.本文讨论了等价变换阵的求法问题以及等价标准形在求解线性方程组、矩阵分解和矩阵秩的讨论等方面的一些应用问题.71117

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毕业论文关键词：矩阵  等价标准形  秩  矩阵分解  线性方程组

矩阵的等价标准形及其应用

在矩阵理论中，利用各种标准形来研究问题是矩阵研究的一种基本的思想方法.在文献[1]中，明确了矩阵的等价及等价标准形的概念，并介绍了关于矩阵等价标准形的一些基本的结论.本文将在文献[1]的基础上，再对矩阵的等价标准形及其应用做一些探讨.

本文中用 表示单位矩阵， 表示 阶单位矩阵， 表示零矩阵， 表示矩阵 的秩.

1. 理论准备

本文的讨论需要用到下列概念和结论.

    定义1  设 是数域 上的两个 矩阵，如果 可以经过一系列初等变换变成 ，就称矩阵 与 等价.数域 上所有与 等价的矩阵作成的集合称为矩阵 的等价类.

矩阵的等价是矩阵间的一种关系，它满足自反性、对称性和传递性，是一种等价关系.在等价条件下，等价的矩阵所具有的性质是相同的.因此， 的等价类中的矩阵在等价条件下的性质都是相同的.

    引理1  设 是数域 上的 矩阵，则 可以经过一系列初等变换变成形式为

的矩阵，这个矩阵称为矩阵 的等价标准形，其中 .

引理2  设 是数域 上的 矩阵，且 ，则存在数域 上的 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使得

 .

    注：特别当矩阵 为 阶方阵时， 与对角矩阵 等价.即:存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ，使得 .而当矩阵 为 阶可逆方阵时， 与 阶单位矩阵 等价，即 .

推论1   ，存在数域 上的 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使得文献综述

 ，

则

 .

推论2  设 ，则下列条件中的每一个均为 等价的充要条件：

（1） ；

（2）存在数域 上的 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使得 ；

（3） 有相同的等价标准形.

对于给定的矩阵 ，如何求引理2中的 ，这是一个有意义的问题.对于引理2中的 ，有

 ，

记 ，则 .于是，利用分块矩阵，可构造下面的缺项分块矩阵:

 ，

并对该分块矩阵的第一行左乘矩阵 ，第一列右乘矩阵 ，得到

 ，

由此可得求可逆阵 ，使得 等于 的等价标准形的方法，即矩阵

的前 行前 列进行初等行、列变换，直到 的部分变成了 的等价标准形， 下方的矩阵 和 后方的矩阵 就满足要求.

例1  化矩阵 为 的等价标准形，并求出相应的可逆阵 ，使得 成为 的等价标准形，其中

则 为可逆阵，且为 的等价标准形.

2. 矩阵等价标准形的应用

(1)利用等价标准形求逆矩阵

对于给定的 阶方阵 ，不仅要判别其是否可逆，在可逆时还要求出其逆矩阵，这些都可以利用等价标准形理论来找出判别其是否可逆，并在可逆时求出其逆矩阵的方法.

由上面讨论知道，当 可逆时， 的等价标准形为 阶单位矩阵，于是有来,自|优;尔`论^文/网www.youerw.com

 ， .

上面两个式子可以整合成一个式子表示:

 .

上式表明，当 经过一系列初等行变换变成矩阵 的等价标准形时， 就经过相同的一系列初等行变换变成 的逆矩阵 .由此就得到了求逆矩阵的初等变换法:即对矩阵