3　辅助函数的构造方法

(1)　几何直观法

    几何直观是指利用图形描述和分析问题，本质上是一种通过图形所展开的想象力．利用几何直观法可以把复杂的问题变得简单易懂，有利于探究解决问题的思路．可以通过几何图形来考察函数间的关系，建立恰当的辅助函数解决问题，比如拉格朗日中值定理的证明．

(2)　原函数积分法

在利用微分中值定理求解介值或零点的问题时，证明的结论往往是某个函数导函数的零点，可通过不定积分反求出原函数，从而构造出辅助函数．

(3)　参数变易法

若想要证明的命题中通过恒等变形，使得等式一端常数已经分离，则可考虑用参数变易法进行构造辅助函数．参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量 ，从而构造出相应的辅助函数的方法．

(4)　微分方程法

   通过构造辅助函数的方法求常微分方程的通解．即在遇到诸如“求证：存在 ，使得 ”之类的问题时，可先求解微分方程得其通解 ，则辅助函数可构造为 ．

(5)　逆向分析法

逆向分析法就是从待证的结论入手，进行逆向分析与推理，在推理中求出辅助函数．在利用微分中值定理证明存在性的问题时，经常要构造辅助函数．

以上介绍了几何直观法、原函数法、逆向分析法和常数变易法以及微分方程法这几种方法．在解题时恰当地构造辅助函数可以方便拓宽解题的思路，相对直接解题有很大的优势．还有很多构造辅助函数的方法，如不完全归纳法和恒等变形法，以及各种方法的综合应用等等，构造恰当地辅助函数可以使我们解题事半功倍．

4　辅助函数在高等数学中的应用

4。1　证明数学定理 文献综述

(1)　证明微分中值定理

    例1(拉格朗日中值定理)　如果函数 满足：

1)闭区间 上连续；

2)在开区间 内可导，

那么在 内至少有一点 ，使等式 成立．

证明(几何直观法)　已知两个端点 ， 的割线的斜率 等于 ，构造辅助函数

 ，

满足罗尔定理,则存在 ，使 ，则 ．                                                 

(2)　证明微积分基本定理

例2(牛顿-莱布尼茨公式)　如果函数 在 上连续，且存在原函数 ，即 ， ，则 在 上可积，且

 ．

分析　由于被积函数 为连续函数及其原函数 存在，因 的任意两个原函数只能相差一个常数，则它的任一原函数 必满足 ．

证明(原函数积分法)　由于函数 在 上连续，构造辅助函数

 ，

令 ，得到 ，从而有 ，再令 ，即得

4。2　证明中值存在性

在证明中值存在性问题时，在方程或含 的等式中若含有函数值之差与两点之差的比时，可考虑构造辅助函数用拉格朗日中值定理证明；若含有两个两点的函数值之差的比，则考虑构造辅助函数用柯西中值定理证明．来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

例3　函数 在 上连续，在 内至少存在一点 ，使

    分析　结论等号左侧显然是函数 在区间 两端点函数值的差与区间长度 之商，于是联想到对函数 使用拉格朗日中值定理．

证明(逆向分析法)　令 ,显然 在 上满足拉格朗日中值定理条件．

于是知:在 内至少存在一点 ,使得 ，而

即得结论 ．

4。3　证明不等式

　　解不等式，一般应用比较法、分析法、综合法等，但计算麻烦，而且很难得到答案．这时构造一个辅助函数，就可以将原来的问题转化为对这个函数性质的分析和研究，利用函数的单调性、凹凸性、最值及拉格朗日中值定理来帮助解题，会简单得多