方差，换言之是衡量随机变量或一组数据离散水平的度量。方差常见于概率论中度量随机变量及其数学期望之间的偏离程度。统计过程中的方差是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。罗纳德·费雪最先在其论文 [1]中提出“方差”这一词语。论文网

当代的实际生产活动中，愈来愈多的决策有必要应用到数学期望与方差的思想来对事情发生的可能性的大小进行估计，通过计算并分析数学期望、方差可以较为科学、有效地得出不同计划所出现的偏差的大小及其预期效果，由此来决定我们要抉择的“最佳计划”。因而对期望与方差进行更深化的研讨认识是非常有必要的[2]。

2  预备知识

2。1  定义

定义1  若离散型随机变量 可能取值为 ,其分布列为 ,则当

时，称 存在数学期望，并且数学期望为

如果

则称 的数学期望不存在。

当 为连续型随机变量,假设该随机变量分布密度为 ,若

则称随机变量 的数学期望为

定义2  设 是一个离散型随机变量,数学期望 存在，若 存在,则称 为随机变量 的方差,记为 或者 。

方差的平方根 又称为标准差，常记为 。在实际问题中标准差用得很广泛，其优点是它具有与 相同的量纲（或因次）。

如果 的分布函数为 ,则来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

 。

由以上定义可以推导出

当 为离散型随机变量,设其分布律为 ,则

当 为连续型随机变量,设其分布密度为 ,则

2。2  性质

性质1　对于随机变量 ,  下列四个结论相互等价

1、 ;

2、 与 不相关;

3、  ;

4、 。

性质2  对于期望为 随机变量 ,则当且仅当 时方差 。

性质3　若随机变量 有 阶(原点)矩,它的特征函数 可微分 次[6], 则有以下公式

性质4　如果随机变量 的方差都存在,则有

全期望公式 ;

全方差公式 。

性质5　设随机变量 ), 它的分布函数为 , 那么 的充要条件为

且

3  求解方法

许多随机变量的分布都与它的期望和方差有关, 因此,计算随机变量期望与方差的方法很多。本文主要列举随机变量分解法、特征函数法、母函数法和全期望全方差公式法。