1。2 近似计算常用方法

目前常用的定积分近似值求解方法有矩形法、梯形法、抛物线法和蒙特卡罗 法，其中矩形法、梯形法、抛物线法为确定性算法，即每次计算结果是相同的， 而蒙特卡罗法又称概率算法，由于算法过程需借助所产生的随机数来模拟，所以 每次计算的结果会有所不同。

矩形法可细分为复合左矩形法、复合右矩形法和中点矩形法，其优点是编程 实现简单，但也因此，其缺点是效果不佳，必须要将积分区间分成足够多的小区 间，才能够得到较为精准的结果，所以，这大大加大了计算量。此外，矩形法不 能够判断其近似值究竟是大于精确值还是小于精确值。

梯形法，近似效果比左矩形法和右矩形法好一些，但是比中点矩形法差，比 较准则为各种方法的误差估计值。对于精度要求不高的定积分计算，梯形法足够 满足精度要求，但是与矩形法相同，积分区间要有足够多的分点，才能达到理想 的精度，并且无法判断所求近似值与精确值的大小关系。

抛物线法，又称辛普森公式，是定积分近似计算中常用且简便的方法之一， 其做法是在分割的每个小区间上采用二次多项式来代替被积函数，它可以满足较 高精度的定积分近似值计算，其效果优于矩形法和梯形法。

蒙特卡罗法，即随机抽样方法，它的缺点是收敛慢，但是其收敛速度与重积 分的维数无关，而且由于它能够推广到反常积分，它对重积分的近似值求解有其 优越性。其他积分计算方法虽然也可以计算重积分，但是对多重积分的计算十分 困难复杂，而蒙特卡罗法可以比较好地解决这个问题。蒙特卡罗法的优点还有程 序结构简单、占用内存单元较少，且受积分区域的影响不大。同时，蒙特卡罗法 的缺点还有伪随机数的均匀性影响随机变量取值从而影响结果而且误差大，但是 由于其优点的显著性，它仍是计算反常积分和维数高、积分区域复杂的重积分的 重要方法。

虽然，从误差估计的理论上来说，抛物线法优于梯形法和矩形法，梯形法优 于矩形法，但是这是对所有定积分近似计算结果的分布分布情况的描述，对于具 体的定积分计算实例，抛物线法未必一定优于梯形法和矩形法，梯形法也未必一 定优于矩形法，不同情况下，几种方法各有优势或劣势。

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2 定积分数值计算方法及误差理论估计

本章节介绍了定积分近似计算的四种数值计算方法及其误差估计，包括矩形 法、梯形法、抛物线法和蒙特卡罗法，给出了数值计算的具体公式，这些公式是 matlab 编程的依据与主体。另外，依据前人的研究，给出了矩形法、梯形法、抛 物线法的误差估计，这些误差估计提供了几种方法的精确度，对比这些误差理论 公式，可对这三种方法进行初步比较。文献综述

2。1 矩形法

2。1。1 算法公式

对于定积分 � �(�)��，将积分区间[�，�]分成