摘 要：正定矩阵作为一类特殊的矩阵，它具有良好的性质和广泛的应用。本文主要给出在实数域中正定矩阵的若干性质，以及对正定矩阵的若干等价条件进行了总结,并给出了部分证明。最后，通过判断矩阵是否正定，给出了在运筹学中的凸规划的证明方法，给出了证明多元函数极值的充分条件以及数值分析中证明解线性方程组的迭代法是否收敛的判定。82819

毕业论文关键词：矩阵; 二次型; 正定矩阵; 性质；应用

The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications

    Abstract:Positive definite matrix is a kind of special matrix, It has good properties  and wide application。 This paper states some important properties of positive definite matrices in real number filed, integrates some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix , then the part of proof is given。Finally, when the matrix is positive definite matrix,mathematical programming is convex programming in operations research,the puts forward applications of the positive definite matrices in multiple function extreme problems, and puts forward the method of the solving linear equations’ iterative method in numerical analysis。

Key words:Matrix;Quadratic form; Positive definite matrix; Property; Application

目    录

摘 要 1

引言 2

1。正定矩阵的预备知识 3

1。1二次型 3

1。2惯性指数 3

2。实正定矩阵的性质 4

2。1正定矩阵的若干等价条件 4

2。2正定矩阵的性质 7

3。正定矩阵的应用 11

3。1正定矩阵在解决凸规划问题中的应用 12

3。2正定矩阵在判断解线性方程组的迭代法收敛性中的应用 13

3。3正定矩阵在解决多元函数极值问题中的应用 15

小    结 17

参考文献 18

致    谢 19

正定矩阵的性质与应用

   引言

二次型在高等代数中十分重要，它不但在数学的分支学科中有所涉及，而且在力学等学科中也常出现。它不仅仅是理论知识，它更具有很好的应用价值，而本文研究的正定矩阵的性质与应用就是二次型知识的延伸，同时，正定矩阵也是矩阵的一种特殊类型，所以它具有良好性质和广泛的应用，例如在运筹学、数值分析，等数学学科中都有不同程度上的涉及。本文就浅谈一下正定矩阵的性质与应用。

正定矩阵理论很大程度上来源于二次型的研究中，随着科学家对二次型理论深入研究，正定矩阵的性质与应用也不断地完善。希尔维斯特在1852年提出个变数二次型的惯性定理，即可以通过行列式不为零的线性变换把二次型化为标准型，它的正负项的个数是固定的。魏尔斯特拉斯在研究动力学问题时涉及到了二次型，他利用希尔维斯特的一些结果完成了二次型理论。

本文首先在第一部分介绍了有关正定矩阵的预备知识，由于正定矩阵是根据二次型正负来定义的，所以在预备知识模块介绍了二次型的定义及二次型在实数域上的唯一性定理和惯性指数等相关内容。因为在实二次型中，正定矩阵理论十分重要，所以本文在第二部分总结了正定矩阵的性质和等价条件，而且对部分定理给予了证明。最后在第三部分介绍了正定矩阵的一些应用。首先在运筹学中，正定矩阵与数学规划中的凸规划的判定有密切的关系，从而很好的解决了线性规划的最优解问题。其次在数值分析中，可以利用正定阵来判定解线性方程组的迭代法是否收敛，利用正定二次型可以判定高斯赛德尔迭代法、雅可比迭代法以及SOR迭代法是否收敛。最后给出了在多元函数确定极值问题中的充分条件。论文网