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极值和最值问题的多种解法(3)
凸函数定义
若这里凸集C即某个区间 ,那么就是:设 为定义在区间 上的函数。若对 上的任意两点 , 和任意的实数λ∈(0,1),总有 (λ +(1-λ) )≤λ ( )+(1-λ) ( ), 则 称为 上的凸函数.
判定方法可利用已知结论法、定义法以及函数的二阶导数.对于实数集上的凸函数,一般的判别方法是求它的二阶导数.如果其二阶导数在区间上恒大于等于0,就称为凸函数(向下凸).如果其二阶导数在区间上恒大于0,就称为严格凸函数.
1.2.2多原函数的性质
定义在某个开区间D内的凸函数 在D内连续,且在除可数个点之外的所有点可微。如果D是闭区间,那么 有可能在D的端点不连续.一元可微函数在某个区间上是凸的,当且仅当它的导数在该区间上单调递减.
一元连续可微函数在区间上是凸的,当且仅当函数位于所有它的切线的上方,对于区间内的所有 和 都有 特别地,如果 那么 是 的最小值.
一元二阶可微的函数在区间上是凸的,当且仅当它的二阶导数是非负的;这可以用来判断某个函数是不是凸函数.如果它的二阶导数是正数,那么函数就是严格凸的,但反过来不成立.例如 = 的二阶导数是 当 时为零,但 是严格凸的.
更一般地,多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的,当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的.凸函数的任何极小值也是最小值.严格凸函数最多有一个最小值.对于凸函数 ,水平子集 是凸集.然而,水平子集是凸集的函数不一定是凸函数.这样的函数称为拟凸函数.
设 为定义在区间 上的函数,若对 上的任意两点 , 和任意的实数λ∈(0,1),总有 则称为 上的下(上)凸函数,且凹函数是指下凸函数
1.3求极值的方法
极值一般分为无条件极值和条件极值两类.
(1):无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题;
(2):条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外,还受其他条件
限制的极值问题.
1.3.1求无条件极值的方法
1.利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型
定理1(充分条件) 设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数, 又
令 则 在 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC-B2>0时有极值, 且当A<0时有极大值, 当A>0时有极小值;
(2) AC-B2<0时无极值;
(3) AC-B2=0时可能有极值, 也可能无极值。
极值的求法:
第一步 解方程组 求得所有实数解, 即可得 所有驻点.
第二步 对于每个驻点 ,可以求出二阶偏导数的值A、B和C.
第三步 定出AC-B2的符号, 根据定理1的结论判定 是否是极值、是极大值还是极小值.
应注意的几个问题:
⑴对于二元函数 ,在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用;
⑵AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论;
⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不一定驻点,但也可能是极值点,讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑.
例1 求函数 的极值.解 令 得 及驻点
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